Giải Toán 10 SGK nâng cao Chương 3 Bài 3 Một số phương trình quy về phương trình bậc nhất và bậc hai

Giải các phương trình

a) \(\frac{{2\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{2x + 1}} = 2 - \frac{{x + 2}}{{2x + 1}}\)

b) \(\frac{{2x - 5}}{{x - 1}} = \frac{{5x - 3}}{{3x + 5}}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Điều kiện: \(x \ne  - \frac{1}{2}\)

Ta có 

\(\begin{array}{l}
\frac{{2\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{2x + 1}} = 2 - \frac{{x + 2}}{{2x + 1}}\\
 \Rightarrow 2\left( {{x^2} - 1} \right) = 2\left( {2x + 1} \right) - \left( {x + 2} \right)\\
 \Leftrightarrow 2{x^2} - 2 = 4x + 2 - x - 2\\
 \Leftrightarrow 2{x^2} - 3x - 2 = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2\,\,\left( n \right)\\
x =  - \frac{1}{2}\,\,\left( l \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy S = {2}

Câu b:

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}
x \ne 1\\
x \ne  - \frac{5}{3}
\end{array} \right.\)

Ta có 

\(\begin{array}{l}
\frac{{2x - 5}}{{x - 1}} = \frac{{5x - 3}}{{3x + 5}}\\
 \Rightarrow \left( {2x - 5} \right)\left( {3x + 5} \right) = \left( {5x - 3} \right)\left( {x - 1} \right)\\
 \Leftrightarrow 6{x^2} + 10x - 15x - 25 = 5{x^2} - 5x - 3x + 3\\
 \Leftrightarrow {x^2} + 3x - 28 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 4\,\,\left( n \right)\\
x =  - 7\,\,\left( n \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy S = {- 7;4}

---

Giải phương trình sau \(\frac{{m - 3}}{{x - 4}} = {m^2} - m - 6\) trong mỗi trường hợp sau:

a) m = 3

b) m ≠ 3

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Với m = 3, phương trình nghiệm đúng ∀x ≠ 4

Vậy S = R\{4}

Câu b:

Với m ≠ 3, ta có

\(\begin{array}{l}
\frac{{m - 3}}{{x - 4}} = {m^2} - m - 6\\
 \Leftrightarrow \frac{{m - 3}}{{x - 4}} = \left( {m - 3} \right)\left( {m + 2} \right)\\
\frac{1}{{x - 4}} = m + 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)
\end{array}\)

• Nếu m ≠ - 2 thì ta được 

\(x - 4 = \frac{1}{{m + 2}} \Leftrightarrow x = 4 + \frac{1}{{m + 2}} = \frac{{4m + 9}}{{m + 2}}\,\,\left( {x \ne 4} \right)\)

• Nếu m = - 2 thì (1) vô nghiệm.

Vậy m = - 2: S = Ø

m = - 3: S = R\{4}

m ≠ - 2 và m ≠ 3: \(S = \left\{ {\frac{{4m + 9}}{{m + 2}}} \right\}\)

---

Giải và biện luận các phương trình (a và m là những tham số)

a) \(\left| {2ax + 3} \right| = 5\)

b) \(\frac{{2mx - {m^2} + m - 2}}{{{x^2} - 1}} = 1\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có: \(\left| {2ax + 3} \right| = 5 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2ax + 3 = 5\\
2ax + 3 =  - 5
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2ax = 2\\
2ax =  - 8
\end{array} \right.\,\,\left( 1 \right)\)

Nếu a = 0 thì phương trình vô nghiệm.

Nếu a ≠ 0 thì (1) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{1}{a}\\
x =  - \frac{4}{a}
\end{array} \right.\)

Vậy \(S = \left\{ {\frac{1}{a}; - \frac{4}{a}} \right\}\)

Câu b:

Điều kiện: \(x \ne  \pm 1\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\frac{{2mx - {m^2} + m - 2}}{{{x^2} - 1}} = 1\\
 \Leftrightarrow 2mx - {m^2} + m - 2 = {x^2} - 1\\
 \Leftrightarrow f\left( x \right) = {x^2} - 2mx + {m^2} - m + 1 = 0\,\,\,\left( 1 \right)
\end{array}\)

\(\Delta ' = {m^2} - \left( {{m^2} - m + 1} \right) = m - 1\)

• Với m > 1:

i) \(m \ne 2:\left( 1 \right) \Leftrightarrow x = m \pm \sqrt {m - 1} \)

ii) m = 2: \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\,\,\left( l \right)\\
x = 3\,\,\left( n \right)
\end{array} \right.\)

• Với m < 1: (1) vô nghiệm
• Với m = 1: (1) có nghiệm kép x = 1 (loại)

Vậy 

• m = 2: S = {3} (loại nghiệm x = 1)
• m > 1 và m ≠ 2: \(S = \left\{ {m \pm \sqrt {m - 1} } \right\}\)
• \(m \le 1:S = \emptyset \)

 

Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 10 Chương 3 Bài 3 Một số phương trình quy về phương trình bậc nhất và bậc hai với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Hoc247 hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 10 học tập thật tốt.