Giải Toán 10 SGK nâng cao Chương 3 Bài 2 Phương trình tham số của đường thẳng

Cho đường thẳng

\(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + t\\
y =  - 2t
\end{array} \right.\)

Hỏi trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

a) Điểm A(−1,−4) thuộc Δ.

b) Điểm B(8,14) thuộc Δ, điểm C(8,−14) thuộc Δ.

c) Δ có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {1;2} \right)\).

d) Δ có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {1;- 2} \right)\).

e) Phương trình \(\frac{{x - 8}}{3} = \frac{{y + 14}}{{ - 6}}\) là phương trình chính tắc của \(\Delta\).

f) Phương trình \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{{ - 2}}\) là phương trình chính tắc của \(\Delta\).

Hướng dẫn giải:

Các mệnh đề đúng là: b), d), e), f)

Các mệnh đề sai là: a), c)

---

Cho đường thẳng Δ: ax+by+c = 0. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

a) Vectơ \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\) là vectơ pháp tuyến của Δ.

b) Δ có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( { - b;a} \right)\).

c) Δ có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( { kb;ka} \right)\) với k ≠ 0 .

d) Δ có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( { 5b;-5a} \right)\).

e) Đường thẳng vuông góc với Δ có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( { a;b} \right)\).

Hướng dẫn giải:

Các mệnh đề đúng là: a), b), d), e)

Các mệnh đề sai là: c)

---

Hãy viết phương trình tham số, phương trình chính tắc (nếu có) và phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm A và B trong mỗi trường hợp sau

a) A(−3;0), B(0;5);

b) A(4;1), B(4;2);

c) A(−4;1), B(1;4).

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {3;5} \right)\)

Phương trình tham số của đường thẳng cần tìm qua A(-3, 0) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB}  = \left( {3;5} \right)\) là:

\(\left\{ \begin{array}{l}
x =  - 3 + 3t\\
y = 5t
\end{array} \right.\)

Phương trình chính tắc là: \(\frac{{x + 3}}{3} = \frac{y}{5}\)

Phương trình tổng quát là: 5x−3y+15 = 0

Câu b:

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {0;1} \right)\)

Phương trình tham số của đường thẳng AB là:

\(\left\{ \begin{array}{l}
x = 4\\
y = 1 + t
\end{array} \right.\)

Không có phương trình chính tắc.

Phương trình tổng quát là: x−4 = 0

Câu c:

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {5;3} \right)\)

Phương trình tham số của đường thẳng AB là:

\(\left\{ \begin{array}{l}
x =  - 4 + 5t\\
y = 1 + 3t
\end{array} \right.\)

Phương trình chính tắc là: \(\frac{{x + 4}}{5} = \frac{{y - 1}}{3}\)

Phương trình tổng quát là: 3x−5y+17 = 0.

---

Cho điểm A(-5, 2) và đường thẳng \(\Delta :\left\{ {\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 3}}{{ - 2}}} \right.\). Hãy viết phương trình đường thẳng:

a) Đi qua A và song song với Δ;

b) Đi qua A và vuông góc với Δ .

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng Δ có  vectơ chỉ phương là: \(\overrightarrow u  = \left( {1; - 2} \right)\)

Câu a:

Đường thẳng đi qua A và song song với Δ có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {1; - 2} \right)\) có phương trình chính tắc là: \(\frac{{x + 5}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}}\)

Câu b:

Đường thẳng đi qua A và vuông góc với Δ có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow u  = \left( {1; - 2} \right)\) có phương trình tổng quát là:

1.(x+5)−2.(y−2)=0 ⇔ x−2y+9 = 0.

---

Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau đây và tìm tọa độ giao điểm (nếu có) của chúng

a) \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 4 - 2t\\
y = 5 - t
\end{array} \right.\) và \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 8 + 6t'\\
y = 4 - 3t'
\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 5 + t\\
y =  - 3 + 2t
\end{array} \right.\) và \(\frac{{x - 4}}{2} = \frac{{y + 7}}{3}\)

c) \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 5 + t\\
y =  - 1 - t
\end{array} \right.\) và \(x + y - 4 = 0\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Phương trình tổng quát của hai đường thẳng đã cho là:

 x+2y−14 = 0 và x+2y−16 = 0

Ta có:  \(\frac{1}{1} = \frac{2}{2} \ne \frac{{ - 14}}{{ - 16}}\)

Do đó hai đường thẳng song song.

Câu b:

Phương trình tổng quát của hai đường thẳng đã cho là:

2x−y−13 = 0 và 3x−2y−26 = 0

Ta có:  \(\frac{2}{3} \ne \frac{{ - 1}}{{ - 2}}\).

Do đó hai đường thẳng cắt nhau.

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ sau: 

\(\left\{ \begin{array}{l}
2x - y - 13 = 0\\
3x - 2y - 26 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
y =  - 13
\end{array} \right.\)

Vậy hai đường thẳng cắt nhau tại M(0;- 13)

Câu c:

Phương trình tổng quát của hai đường thẳng đã cho là:

x+y−4 = 0 và x+y−4 = 0

Hai đường thẳng trùng nhau.

---

Tìm hình chiếu vuông góc của điểm P(3;- 2) trên đường thẳng  trong mỗi trường hợp sau

a) \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}
x = t\\
y = 1
\end{array} \right.\)

b) \(\Delta :\frac{{x - 1}}{3} = \frac{y}{{ - 4}}\)

c) Δ: 5x−12y+10 = 0.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Δ: y = 1 có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {0;1} \right)\).

Đường thẳng Δ′ vuông góc với Δ nên có vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow n'  = \left( {1;0} \right)\)

Đường thẳng Δ′ qua P và vuông góc với Δ có phương trình tổng quát là:

1.(x−3) = 0 ⇔ x = 3.

Gọi Q là hình chiếu của P trên Δ do đó Q là giao điểm của Δ và Δ′, tọa độ của Q là nghiệm của hệ sau

\(\left\{ \begin{array}{l}
x = 3\\
y = 1
\end{array} \right.\)

Vậy Q(3, 1)

Câu b:

Δ có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {3; - 4} \right)\). Đường thẳng Δ′ qua P và vuông góc với  nên có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow u  = \left( {3; - 4} \right)\) nên có phương trình tổng quát là:

3.(x−3)−4.(y+2) = 0 ⇔ 3x−4y−17 = 0.

Gọi Q là hình chiếu của P trên Δ  do đó Q là giao điểm của Δ và Δ′ , tọa độ của Q là nghiệm của hệ sau:

\(\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{x - 1}}{3} = \frac{y}{{ - 4}}\\
3x - 4y - 17 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 - 4x - 3y + 4 = 0\\
3x - 4y - 17 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{{67}}{{25}}\\
y = \frac{{ - 56}}{{25}}
\end{array} \right.\) 

Vậy \(Q\left( {\frac{{67}}{{25}}; - \frac{{56}}{{25}}} \right)\).

Câu c:

Δ có vectơ pháp tuyến →n(5;−12).n→(5;−12).

Đường thẳng Δ′ vuông góc với Δ nên có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow n  = \left( {5; - 12} \right)\). x=

Đường thẳng Δ′ qua P và vuông góc với Δ có phương trình chính tắc là:

\(\frac{{x - 3}}{5} = \frac{{y + 2}}{{ - 12}} \Leftrightarrow  - 12x - 5y + 26 = 0\)

Gọi Q là hình chiếu của P trên Δ do đó Q là giao điểm của Δ và Δ′ , tọa độ của Q là nghiệm của hệ sau:

\(\left\{ \begin{array}{l}
5x - 12y + 10 = 0\\
 - 12x - 5y + 26 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{{262}}{{169}}\\
y = \frac{{250}}{{169}}
\end{array} \right.\)

Vậy \(Q\left( {\frac{{262}}{{169}};\frac{{250}}{{169}}} \right)\)

---

Trên đường thẳng Δ: x−y+2 = 0. Tìm điểm M cách đều hai điểm E(0;4) và F(4;-9).

Hướng dẫn giải:

Phương trình tham số của Δ là:

\(\left\{ \begin{array}{l}
x = t\\
y = 2 + t
\end{array} \right.\)

Giả sử M(t;2+t) ∈ Δ và EM = FM

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{ \Leftrightarrow {t^2} + {{\left( {t - 2} \right)}^2} = {{\left( {t - 4} \right)}^2} + {{\left( {t + 11} \right)}^2}}\\
{ \Leftrightarrow t =  - \frac{{133}}{{18}}}
\end{array}\)

Vậy \(M\left( {\frac{{ - 133}}{{18}};\frac{{ - 97}}{{18}}} \right)\).

---

Cho hình bình hành có tọa độ một đỉnh là (4;-1) . Biết phương trình các đường thẳng chứa hai cạnh là x - 3y = 0 và 2x + 5y +6 = 0. Tìm tọa độ ba đỉnh còn lại của hình bình hành đó.

Hướng dẫn giải:

 

Giả sử hình bình hành ABCD có:

A(4;−1) và BC: x−3y = 0; CD: 2x+5y+6 = 0 (do A không nằm trên hai đường thẳng này).

Vì C là giao của BC và CD nên tọa độ đỉnh C là nghiệm của hệ sau:

\(\left\{ \begin{array}{l}
x - 3y = 0\\
2x + 5y =  - 6
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x =  - \frac{{18}}{{11}}\\
y =  - \frac{6}{{11}}
\end{array} \right.\)

Vậy \(C\left( { - \frac{{18}}{{11}}; - \frac{6}{{11}}} \right)\).

Đường thẳng AD qua A và song song với BC nên có phương trình:

1.(x−4)−3.(y+1) = 0 ⇔ x−3y−7 = 0.

Đường thẳng AB qua A và song song với CD nên có phương trình là:

2.(x−4)+5.(y+1) = 0 ⇔ 2x+5y−3 = 0.

B là giao điểm của BC và AB nên tọa độ của B là nghiệm của hệ sau:

\(\left\{ \begin{array}{l}
2x + 5y - 3 = 0\\
x - 3y = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{9}{{11}}\\
y = \frac{3}{{11}}
\end{array} \right.\)

Vậy \(B\left( {\frac{9}{{11}};\frac{3}{{11}}} \right)\)

D là giao điểm của AD và CD  nên tọa độ của điểm D là nghiệm của hệ sau:

\(\left\{ \begin{array}{l}
x - 3y = 7\\
2x + 5y =  - 6
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{{17}}{{11}}\\
y =  - \frac{{20}}{{11}}
\end{array} \right.\)

Vậy \(D\left( {\frac{{17}}{{11}}; - \frac{{20}}{{11}}} \right)\)

 

Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 10 Chương 3 Bài 2 Phương trình tham số của đường thẳng bất kì với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Hoc247 hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 10 học tập thật tốt.