Giải Toán 10 SGK nâng cao Chương 2 Luyện tập (trang 59, 60, 61)

Với mỗi hàm số \(y = -x^2 + 2x + 3\) và \(y = \frac{1}{2}{x^2} + x - 4\), hãy:   

a) Vẽ đồ thị của mỗi hàm số.

b) Tìm tập hợp các giá trị x sao cho y > 0.

c) Tìm tập hợp các giá trị x sao cho y < 0.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Tọa độ hàm số: \(y = -x^2 + 2x + 3\)

Tọa độ đỉnh I(1, 4)

Bảng giá trị

x	0	1	- 1	3
y	3	4	0	0

Đồ thị hàm số

\(y = 0 \Leftrightarrow x =  - 1\) hoặc \(x=3\)

\(y > 0 \Leftrightarrow  - 1 < x < 3\)

\(y < 0 \Leftrightarrow x <  - 1\) hoặc \(x>3\)

Câu b:

Đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{2}{x^2} + x - 4\)

Tọa độ đỉnh \(I\left( { - 1; - \frac{9}{2}} \right)\)

Bảng giá trị 

x	- 1	0	2	- 4
y	\({ - \frac{9}{2}}\)	- 4	0	0

Đồ thị hàm số 

\(y = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2}{x^2} + x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2\\
x =  - 4
\end{array} \right.\)

\(y > 0 \Leftrightarrow x <  - 4\) hoặc \(x>2\)

\(y < 0 \Leftrightarrow  - 4 < x < 2\)

---

Lập bảng theo mẫu sau rồi điền vào ô trống các giá trị thích hợp (nếu có):

Hàm số	Hàm số có GTLN/NN khi x = ?	Giá trị lớn nhất	Giá trị nhỏ nhất
y = 3x2 - 6x + 7
y = - 5x2 - 5x + 3
y = x2 - 6x + 9
y = - 4x2 + 4x - 1

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có \({x_0} =  - \frac{b}{{2a}} = \frac{6}{6} = 1 \Rightarrow {y_0} = {3.1^2} - 6.1 + 7 = 4;\,\,a = 3 > 0\)

Hàm số có giá trị nhỏ nhất khi x = 1

Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 4.

Câu b:

Ta có \({x_0} =  - \frac{b}{{2a}} = \frac{5}{{ - 10}} =  - \frac{1}{2} \Rightarrow {y_0} = \frac{{17}}{4};\,\,a =  - 5 < 0\)

Vậy hàm số có giá trị lớn nhất khi \(x =  - \frac{1}{2}\)

Giá trị lớn nhất bằng \(\frac{{17}}{4}\)

Câu c:

Ta có \({x_0} =  - \frac{b}{{2a}} = 3 \Rightarrow {y_0} = 0;\,\,a = 1 > 0\)

Vậy hàm số có giá trị nhỏ nhất khi x = 3

Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 0

Câu d:

Ta có \({x_0} =  - \frac{b}{{2a}} = \frac{1}{2} \Rightarrow {y_0} = 0;\,\,a =  - 4 < 0\)

Hàm số có giá trị lớn nhất khi \(x = \frac{1}{2}\)

Giá trị lớn nhất bằng 0

Ta có bảng sau:

Hàm số	Hàm số có GTLN/NN khi x = ?	Giá trị lớn nhất	Giá trị nhỏ nhất
y = 3x2 - 6x + 7	x = 1		y = 4
y = - 5x2 - 5x + 3	\(x =  - \frac{1}{2}\)	\( y = \frac{{17}}{4}\)
y = x2 - 6x + 9	x = 3		y = 0
y = - 4x2 + 4x - 1	\(x = \frac{1}{2}\)	y = 0

---

Gọi (P) là đồ thị hàm số tại y = ax² + bx + c. Hãy xác định dấu của hệ số a và biệt số Δ trong mỗi trường hợp sau:

a) (P) nằm hoàn toàn ở phía trên trục hoành

b) (P) nằm hoàn toàn ở phía dưới trục hoành

c) (P) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và đỉnh của (P) nằm phía trên trục hoành

Hướng dẫn giải:

Câu a:

(P) nằm hoàn toàn phía bên trục hoành thì a > 0 và Δ < 0

(do đỉnh \(I\left( { - \frac{b}{{2a}};\frac{\Delta }{{4a}}} \right)\)).

Câu b:

(P) nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành thì a < 0 và Δ < 0

Câu c:

(P) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và đỉnh của (P) nằm phía trên trục hoành thì a < 0 và Δ > 0

---

Vẽ đồ thị và lập bảng biến thiên của các hàm số sau:

a) \(y = \left| {{x^2} + \sqrt 2 x} \right|\)

b) \(y =  - {x^2} + 2\left| x \right| + 3\)

c) \(y = 0,5{x^2} - \left| {x - 1} \right| + 1\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Vẽ đồ thị hàm số \(y = {x^2} + \sqrt 2 x\) (P₁) rồi suy ra đồ thị hàm số \(y = \left| {{x^2} + \sqrt 2 x} \right|\) (P)

Hoành độ của đỉnh: \({x_0} =  - \frac{b}{{2a}} = \frac{{ - \sqrt 2 }}{2} \Rightarrow {y_0} = \frac{1}{2} - 1 =  - \frac{1}{2}\)

Đỉnh \(I\left( {\frac{{ - \sqrt 2 }}{2}; - \frac{1}{2}} \right)\)

Bảng giá trị

x	- 1	\(\frac{{ - \sqrt 2 }}{2}\)	0
y	\(1 - \sqrt 2 \)	\( - \frac{1}{2}\)	0

Đồ thị hàm số

Ta giữ nguyên phần đồ thị trên trục hoành và lấy đối xứng phần đồ thì của hàm số \(y = {x^2} + \sqrt 2 x\) phía dưới trục hoành qua Ox ta được đồ thị của hàm \(y = \left| {{x^2} + \sqrt 2 x} \right|\) (đồ thị là phần nét liền trên hình vẽ)

Bảng biến thiên

 

Câu b:

Vẽ đồ thị hàm số y = - x² + 2x + 3 (P₁) rồi suy ra đồ thị hàm số: y = - x² + 2|x| + 3 (P)

Hoành độ đỉnh: \({x_0} =  - \frac{b}{{2a}} = \frac{{ - 2}}{{ - 2}} = 1 \Rightarrow {y_0} = 4\)

Đỉnh I(1;4)

Bảng giá trị

x	0	1	2
y	3	4	4

Đồ thị hàm số

  

Bảng biến thiên

Câu c:

Ta có \(y = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{0,5{x^2} - x + 2,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ge 1}\\
{0,5{x^2} + x,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x < 1}
\end{array}} \right.\)

Đồ thị hàm số

Bảng biến thiên

---

Vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau:

a) \(y = \left\{ \begin{array}{l}
 - x + 1,\,\,\,\,\,\,x \le  - 1\\
 - {x^2} + 3,\,\,\,\,x >  - 1
\end{array} \right.\)

b) \(y = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{2}{\left( {x + 3} \right)^2},\,\,\,\,\,\,x \le  - 1\\
2,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x >  - 1
\end{array} \right.\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Đường thẳng y = - x + 1 qua A(1;0) và B(- 1;2)

Parabol \(y=-x^2+3\) có đỉnh I(0;3)

Đồ thị 

Câu b:

---

Khi một quả bóng được đá lên sẽ đạt đến độ cao nhất, rồi rơi xuống. Biết rằng quỹ đạo của quả bóng là một parabol trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oth, trong đó t là thời gian (tính bằng giây) kể từ khi quả bóng được đá lên; h là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng. Giả thiết rằng quả bóng được đá từ độ cao l,2m. Sau đó 1s, nó đạt được độ cao 8,5m, và 2s sau khi đá lên, nó ở độ cao 6m (hình dưới đây).

a) Hãy tìm: Hàm số có đồ thị trùng với quỹ đạo của bóng trong tình huống trên.

b) Sau bao lâu thì quả bóng sẽ chạm đất kể từ khi đá lên (chính xác đến hàng phần trăm).

c) Xác định độ cao lớn nhất của quả bóng (tính chính xác đến hàng phần nghìn)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Giả sử \(h = f\left( t \right) = a{t^2} + bt + c\,\,\left( {a \ne 0} \right)\)

Theo đề bài, ta có hệ sau:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
f\left( 0 \right) = 1,2\\
f\left( 1 \right) = 8,5\\
f\left( 2 \right) = 6
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
c = 1,2\\
a + b + c = 8,5\\
4a + 2b + c = 6
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
c = 1,2\\
a + b = 7,3\\
2a + b = 2,4
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a =  - 4,9\\
b = 12,2\\
c = 1,2
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy \(h=f(t)=-4,9t^2+12,2t+1,2\)

Câu b:

Bóng chạm đất khi:

\(\begin{array}{l}
h = 0 \Leftrightarrow  - 4,9{t^2} + 12,2t + 1,2 = 0\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
t =  - 0,09\,\,\left( l \right)\\
t = 2,58
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy bóng chạm đất sau gần 2,58 giây

Câu c:

Độ cao lớn nhất của quả bóng chính là tung độ đỉnh của parabol chính là:

\({y_0} =  - \frac{\Delta }{a} = \frac{{ - 43,09}}{{ - 4,9}} \approx 8,794\) (m)

---

(Bài toán về cổng Ac-xơ (Arch))

Khi du lịch đến thành phố Xanh lu-i (Mĩ) bạn sẽ thấy một cái cổng lớn hình parabol hướng bề lõm về phía dưới. Đó là cổng Ac-xơ. Giả sử lập một hệ tọa độ Oxy sao cho một chân cổng đi qua gốc O như hình vẽ dưới đây (x, y tính bằng mét), chân kia của cổng ở vị trí (162;0). Biết một điểm M trên cổng có tọa độ là (10;43).

a) Tìm hàm số có đồ thị là parabol nói trên (các hệ số chính xác đến hàng phần nghìn).

b) Tính chiều cao của công (Tính từ điểm cao nhất trên cổng xuống mặt đất, tính chính xác đến hàng đơn vị).

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Giả sử hàm số bậc hai có đồ thị chứa cung parabol trên là:

\(f(x)=ax^2+bx+c\)

Theo đề bài, ta có:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
f\left( 0 \right) = 0\\
f\left( {10} \right) = 43\\
f\left( {162} \right) = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
c = 0\\
100a + 10b + c = 43\\
162{a^2} + 162b + c = 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
c = 0\\
100a + 10b = 43\\
162a + b = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a =  - \frac{{43}}{{1520}}\\
b = \frac{{3483}}{{760}}
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy \(f\left( x \right) =  - \frac{{43}}{{1520}}{x^2} + \frac{{3483}}{{760}}x\)

Câu b:

Chiều cao của cổng bằng tung độ của đỉnh parabol, tức là:

\({y_0} = f\left( { - \frac{b}{{2a}}} \right) = f\left( {81} \right) \approx 186\) (m)

 

Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 10 Chương 2 Luyện tập (trang 59, 60, 61) với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Hoc247 hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 10 học tập thật tốt.