Giải Toán 10 SGK nâng cao Chương 2 Bài 1 Giá trị lượng giác của một góc bất kì

Tính giá trị đúng của các biểu thức sau (không dùng máy tính bỏ túi hoặc bảng số)

a) (2sin30⁰+cos135⁰−3tan150⁰)(cos180⁰−cot60⁰)

b) sin²90⁰+cos²120⁰+cos²0⁰−tan²60⁰+cot²135⁰

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\cos {135^0} = \cos \left( {{{180}^0} - {{45}^0}} \right) =  - \cos {45^0} =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\
\tan {150^0} = \tan \left( {{{180}^0} - {{30}^0}} \right) =  - \tan {30^0} =  - \frac{{\sqrt 3 }}{3}
\end{array}\)

Do đó 

(2sin300+cos1350−3tan1500)(cos1800−cot600)

\( = \left( {1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2} + \sqrt 3 } \right)\left( { - 1 - \frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right) = \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2} - \sqrt 3  - 1} \right)\left( {1 + \frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)\)

Câu b:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\cos {120^0} = \cos \left( {{{180}^0} - {{60}^0}} \right) =  - \cos {60^0} =  - \frac{1}{2}\\
\cot {135^0} = \cot \left( {{{180}^0} - {{45}^0}} \right) =  - \cot {45^0} =  - 1
\end{array}\)

Do đó:

sin2900+cos21200+cos200−tan2600+cot21350

\( = 1 + \frac{1}{4} + 1 - 3 + 1 = \frac{1}{4}\)

---

Đơn giản các biểu thức

a) sin100⁰+sin80⁰+cos16⁰+cos164⁰

b) 2sin(180⁰−α)cotα−cos(180⁰−α)tanαcot(180⁰−α) với 0⁰ < α < 90⁰.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có

sin100⁰ = sin(1800−800) = sin80⁰; cos164⁰ = cos(180⁰−16⁰) = −cos16⁰

⇒ sin100⁰+sin80⁰+cos16⁰+cos164⁰ = sin80⁰+sin80⁰+cos16⁰−cos16⁰ = 2sin80⁰.

Câu b:

Ta có

2sin(180⁰−α)cotα−cos(180⁰−α)tanαcot(180⁰−α)

\(\begin{array}{l}
 = 2\sin \alpha .\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} - \cos \alpha \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}.\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\\
 = 2\cos \alpha  - \cos \alpha  = \cos \alpha 
\end{array}\)

---

Chứng minh các hệ thức sau:

a) \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = )

b) \(1 + {\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\left( {\alpha  \ne {{90}^0}} \)

c) \(1 + {\cot ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\left( {{0^0} < \alpha  < {{180}^0}} \)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Giả sử M(x;y) trên đường tròn đơn vị, \(\widehat {MOx} = \alpha \). Ta có

Suy ra sin²α+cos²α = x²+y² = OM² = 1.

Câu b:

Ta có: \(1 + {\tan ^2}\alpha  = 1 + \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{{{{\cos }^2}\alpha  + {{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\) (đpcm)

Câu c:

Ta có: \(1 + {\cot ^2}\alpha  = 1 + \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\) (đpcm)

 

Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 10 Chương 2 Bài 1 Giá trị lượng giác của một góc bất kì với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Hoc247 hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 10 học tập thật tốt.