Chuyên đề viết phương trình mặt phẳng dạng cơ bản

Vấn đề ①: Tìm một VTPT của mặt phẳng

- Phương pháp: Sử dụng định nghĩa:

Vectơ \(\overrightarrow n \ne \overrightarrow 0 \),\(\overrightarrow n \) có giá vuông góc với \((P)\)

\(\Rightarrow \overrightarrow n \) là 1 VTPT của \((P)\)

-Chú ý:

①. Nếu \(\overrightarrow n \) là một VTPT của mặt phẳng \((P)\) thì \(k\overrightarrow n \,\)\(\,(k \ne 0)\) cũng là một VTPT của mp\((P)\)

②. Nếu mp\((P)\) có phương trình \(Ax + By + Cz + D = 0\,\,\)thì nó có một VTPT là \(\overrightarrow n (A;\,B;\,C)\).

③. Nếu \((P)\)có cặp \(\overrightarrow u ,\,\overrightarrow v \) không cùng phương với nhau và có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng \((P)\) thì \(\overrightarrow n = {\rm{[}}\overrightarrow u ,\,\overrightarrow v {\rm{]}}\) là một VTPT của \((P)\).

Vấn đề ②: Viết phương trình mặt phẳng

-Phương pháp:

❶.Viết phương trình mặt phẳng khi biết một điểm và vectơ pháp tuyến của nó.

• Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.

\((\alpha ):A(x – {x_0}) + B(y – {y_0}) + C(z – {z_0}) = 0.\)

Hay \(\left( \alpha \right):Ax + By + Cz + D = 0.\)

• Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: \(\frac{{\rm{x}}}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\)

❷.Viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\)đi qua 1 điểm \({M_0}({x_0};{y_0};{z_0})\)và song song với 1 mặt phẳng \(\left( \beta \right):Ax + By + Cz + D = 0\)cho trước.

• VTPT của \((\beta )\) là \(\overrightarrow {{n_\beta }} = (A;B;C).\)

• \((\alpha )//(\beta )\) nên VTPT của mặt phẳng \((\beta )\) là \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \overrightarrow {{n_\beta }} = (A;B;C).\)

• Phương trình mặt phẳng \((\alpha ):A(x – {x_0}) + B(y – {y_0}) + C(z – {z_0}) = 0.\)

❸.Viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua 3 điểm \(A\), \(B\), \(C\)không thẳng hàng.

• Tìm tọa độ các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} .\)

• Vectơ pháp tuyến của \((\alpha )\) là : \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\).

• Điểm thuộc mặt phẳng: A (hoặc B hoặc C).

• Viết phương trình mặt phẳng qua 1 điểm và có VTPT \(\overrightarrow {{n_\alpha }} \).

❹. Viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\)qua hai điểm \(A\), \(B\) và vuông góc với mặt phẳng \((\beta )\).

• Tìm VTPT của \((\beta )\) là \(\overrightarrow {{n_\beta }} .\)

• Tìm tọa độ vectơ \(\overrightarrow {AB} .\)

• VTPT của mặt phẳng \((\alpha )\) là \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{n_\beta }} ,\overrightarrow {AB} } \right]\).

• Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.

Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào được cho dưới đây là phương trình mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\)?

Ⓐ. \(x = y + z\). 

Ⓑ. \(y – z = 0\). 

Ⓒ. \(y + z = 0\). 

Ⓓ. \(x = 0\).

Lời giải

Chọn D

Mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) đi qua \(O\left( {0;0;0} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n = \left( {1;0;0} \right)\) làm vec tơ pháp tuyến nên phương trình mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) là x = 0

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), đường thẳng \(\Delta :\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{2}\) vuông góc với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau?

A. \(\left( P \right):x + y + z = 0\). 

B. \(\left( \alpha \right):x + y + 2z = 0\).

C. \(\left( \beta \right):x + y – z = 0\). 

D. \(\left( Q \right):x + y – 2z = 0\).

Câu 2: Trong không gian \(Oxyz\), điểm \(M\left( {3;4; – 2} \right)\) thuộc mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau?

A. \(\left( R \right):x + y – 7 = 0\). 

B. \(\left( S \right):x + y + z + 5 = 0\).

C. \(\left( Q \right):x – 1 = 0\). 

D. \(\left( P \right):z – 2 = 0\).

Câu 3: Trong không gian \(Oxyz\) cho mặt phẳng \(\left( {\;P} \right)\) có phương trình \(3x – y + z – 1 = 0\). Trong các điểm sau đây điểm nào thuộc \(\left( {\;P} \right)\).

A. \(B\left( {1; – 2;4} \right)\). 

B. \(A\left( {1; – 2; – 4} \right)\). 

C. \(C\left( {1;2; – 4} \right)\). 

D. \(D\left( { – 1; – 2; – 4} \right)\).

Câu 4: Trong không gian với hệ toạ độ \(Oxyz\), phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng song song với mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\)?

A. \(y – 2 = 0\). 

B. \(x – 2 = 0\). 

C. \(y – z = 0\). 

D. \(x – y = 0\).

Câu 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), vectơ nào sau đây không phải là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right):x + 3y – 5z + 2 = 0\).

A. \(\overrightarrow n = \left( { – 3;{\rm{ }} – 9{\rm{; 15}}} \right)\). 

B. \(\overrightarrow n = \left( { – 1; – 3{\rm{; 5}}} \right)\).

C. \(\overrightarrow n = \left( {2;{\rm{ 6; }} – {\rm{10}}} \right)\). 

D. \(\overrightarrow n = \left( { – 2;{\rm{ }} – {\rm{6; }} – {\rm{10}}} \right)\).

Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho vectơ \(\overrightarrow n \left( {0;\,1;\,1} \right)\). Mặt phẳng nào trong các mặt phẳng được cho bởi các phương trình dưới đây nhận vectơ \(\overrightarrow n \) làm vectơ pháp tuyến?

A. \(x = 0\). 

B. \(y + z = 0\). 

C. \(z = 0\). 

D. \(x + y = 0\).

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) phương trình nào được cho dưới đây là phương trình mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\)?

A. \(x = y + z\) 

B. \(y – z = 0\) 

C. \(y + z = 0\) 

D. \(x = 0\)

Câu 8: Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x – z + 1 = 0\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có một vectơ pháp tuyến là:

A. \(\overrightarrow {{n_3}} = \left( {2;0; – 1} \right)\). 

B. \(\overrightarrow {{n_4}} = \left( {2;1;0} \right)\). 

C. \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2; – 1;1} \right)\). 

D. \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2; – 1;0} \right)\).

Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\)cho mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình \(3x + 2y – 3 = 0.\) Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. \(\overrightarrow n = \left( {6;\,\,4;\,\,0} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right).\)

B. \(\overrightarrow n = \left( {6;\,\,4; – 6} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right).\)

C. \(\overrightarrow n = \left( {3;\,\,2; – 3} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right).\)

D. \(\overrightarrow n = \left( {3;\,\,2;\,\,3} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right).\)

Câu 10: Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x – z + 5 = 0\). Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là

A. \(\overrightarrow {{n_4}} = \left( {2;0; – 1} \right)\). 

B. \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;0;1} \right)\). 

C. \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;1;5} \right)\). 

D. \(\overrightarrow {{n_3}} = \left( {2; – 1;5} \right)\).

ĐÁP ÁN

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
B	A	B	B	D	B	D	A	A	A

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Chuyên đề viết phương trình mặt phẳng dạng cơ bản. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Chuyên đề tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng Toán 12

• Chuyên đề tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng Toán 12

Chúc các em học tốt!