Chuyên đề tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng Toán 12

Vấn đề 1: Tọa độ điểm

1. Lý thuyết cần nắm:

Ⓐ. Định nghĩa: \(M(x;\,\,y;\,\,z) \Leftrightarrow \overrightarrow {OM} \,\, = \,\,x.\overrightarrow i + y.\overrightarrow j + \,z.\overrightarrow k \) (x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ)

Ⓑ. Chú ý:

①. \(M \in \left( {Oxy} \right) \Leftrightarrow z = 0;\,M \in \left( {Oyz} \right) \Leftrightarrow x = 0;\,M \in \left( {Oxz} \right) \Leftrightarrow y = 0\)

②. \(M \in Ox \Leftrightarrow y = z = 0;\,M \in Oy \Leftrightarrow x = z = 0;\,M \in Oz \Leftrightarrow x = y = 0\).

Ⓒ. Tính chất: Cho \(A({x_A};\,\,{y_A};\,\,{z_A}),\,\,\,B({x_B};\,\,{y_B};\,\,{z_B})\)

①. \(\overrightarrow {AB} = ({x_B} – {x_A};{y_B} – {y_A};{z_B} – {z_A})\)

②. \(AB\,\, = \,\,\sqrt {{{({x_B} – {x_A})}^2} + {{({y_B} – {y_A})}^2} + {{({z_B} – {z_A})}^2}} \)

③. Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: \(M\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)\)

④. Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:

\(G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3};\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)\)

Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(A\left( {1;3;2} \right), B\left( {3; – 1;4} \right)\). Tìm tọa độ trung điểm I của AB.

Ⓐ.\(I\left( {2; – 4;2} \right)\). 

Ⓑ.\(I\left( {4;2;6} \right)\). 

Ⓒ. \(I\left( { – 2; – 1; – 3} \right)\). 

Ⓓ. \(I\left( {2;1;3} \right)\).

Lời giải

Chọn D

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = 2\\{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = 1\\{z_I} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2} = 3\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {2;1;3} \right)\).

Vấn đề 2: Tọa độ vectơ và tính chất cơ bản

1.Lý thuyết cần nắm:

Định nghĩa: \(\vec a = {a_1}.\vec i + {a_2}.\vec j + {a_3}.\vec k \Leftrightarrow \vec a = \left( {a{}_1;{a_2};{a_3}} \right)\).

Tính chất: Cho \(\vec a = \left( {a{}_1;{a_2};{a_3}} \right);\vec b = \left( {b{}_1;{b_2};{b_3}} \right)\).

Ta có:

①. \(\vec a = \vec b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = {b_1}\\{a_2} = {b_2}\\{a_3} = {b_3}\end{array} \right.\).

②. \(\vec a \pm \vec b = \left( {a{}_1 \pm b{}_1;{a_2} \pm {b_2};{a_3} \pm {b_3}} \right)\).

③. \(k\vec a = \left( {ka{}_1;k{a_2};k{a_3}} \right), k \in \mathbb{R}\).

④. \(\vec 0 = (0;0;0),\,\,\,\vec i = \left( {1;0;0} \right),\,\,\vec j = \left( {0;1;0} \right),\,\,\vec k = \left( {0;0;1} \right)\).

⑤. \(\vec a\) cùng phương \(\vec b \Leftrightarrow \)\(\exists k \in \mathbb{R}:\vec a = k\vec b\,\,\,\left( {\vec b \ne \vec 0} \right)\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = k{b_1}\\{a_2} = k{b_2}\\{a_3} = k{b_3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{{{a_1}}}{{{b_1}}} = \frac{{{a_2}}}{{{b_2}}} = \frac{{{a_3}}}{{{b_3}}}\,\,\,\left( {{b_1},{b_2},{b_3} \ne 0} \right)\)

⑥. \(A,B,C\) thẳng hàng \( \Leftrightarrow \)\(\overrightarrow {AB} = k.\overrightarrow {AC} \).

Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {3;2;1} \right)\), \(\overrightarrow b = \left( { – 2;0;1} \right)\). Độ dài của vectơ \(\overrightarrow a + \overrightarrow b \) bằng

Ⓐ.\(2\). 

Ⓑ.\(1\). 

Ⓒ. \(\sqrt 2 \). 

Ⓓ. \(3\).

Lời giải

Chọn D

Ta có \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {1;2;2} \right)\)\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \sqrt {1 + 4 + 4} = 3\).

Câu 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho 2 vectơ \(\vec a = \left( { – 1\,;1\,;0} \right)\); \(\vec b = \left( {1\,;\,1\,;0} \right)\). Trong các kết luận : \(\left( I \right)\). \(\vec a = – \vec b\); \(\left( {II} \right)\). \(\left| {\vec b} \right| = \left| {\vec a} \right|\); \(\left( {III} \right)\). \(\vec a = \vec b\); \(\left( {IV} \right)\). \(\vec a \bot \vec b\), có bao nhiêu kết luận sai?

A. \(3\). 

B. \(4\). 

C. \(1\). 

D. \(2\).

Câu 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\) cho ba vectơ \(\overrightarrow a = \left( { – 1;1;0} \right)\), \(\overrightarrow b = \left( {1;1;0} \right)\), \(\overrightarrow c = \left( {1;1;1} \right)\). Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. \(\overrightarrow b \bot \overrightarrow c .\) 

B. \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt 2 .\) 

C. \(\overrightarrow b \bot \overrightarrow a .\) 

D. \(\left| {\overrightarrow c } \right| = \sqrt 3 .\)

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\)cho điểm \(M\left( {a;\,\,b;\,\,c} \right)\). Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. Tọa độ \(\overrightarrow {OM} \) là \(\left( {a;b;c} \right)\). 

B. Tọa độ hình chiếu của M lên \(Ox\)là \(\left( {a;0;0} \right)\).

C. Điểm M thuộc Oz khi và chỉ khi \)a = b = 0.\). 

D. Khoảng cách từ M đến \(\left( {Oxy} \right)\) bằng c.

Câu 4: Trong không gian \(Oxyz\), cho hai vector \(\overrightarrow a = \left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right),\overrightarrow b = \left( {{b_1},{b_2},{b_3}} \right)\) khác \(\overrightarrow 0 \). Tích hữu hướng của \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) và \(\overrightarrow c \). Câu nào sau đây đúng?

A. \(\overrightarrow c = \left( {{a_3}{b_1} – {a_1}{b_3},{a_1}{b_2} – {a_2}{b_1},{a_2}{b_3} – {a_3}{b_1}} \right)\). 

B. \(\overrightarrow c = \left( {{a_2}{b_3} – {a_3}{b_2},{a_3}{b_1} – {a_1}{b_b},{a_1}{b_2} – {a_2}{b_1}} \right)\).

C. \(\overrightarrow c = \left( {{a_1}{b_3} – {a_2}{b_1},{a_2}{b_3} – {a_3}{b_2},{a_3}{b_1} – {a_1}{b_3}} \right)\). 

D. \(\overrightarrow c = \left( {{a_1}{b_3} – {a_3}{b_1},{a_2}{b_2} – {a_1}{b_2},{a_3}{b_2} – {a_2}{b_3}} \right)\).

Câu 5: Trong không gian \(Oxyz,\) cho hai vector \(\overrightarrow a = \left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right),\overrightarrow b = \left( {{b_1},{b_2},{b_3}} \right)\) khác \(\overrightarrow 0 \). \(cos\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\) là biểu thức nào sau đây?

A. \(\frac{{{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3}}}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}\). 

B. \(\frac{{{a_1}{b_3} + {a_2}{b_1} + {a_3}{b_2}}}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}\). 

C. \(\frac{{{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_1}}}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}\). 

D. \(\frac{{{a_1}{b_2} + {a_2}{b_3} + {a_3}{b_1}}}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}\).

Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho \(\overrightarrow a = \left( {3;2;1} \right)\), \(\overrightarrow b = \left( { – 2;0;1} \right)\). Độ dài \(\overrightarrow a + \overrightarrow b \) là:

A. \(1\). 

B. \(2\). 

C. \(3\). 

D. \(\sqrt 2 \).

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {a;b;c} \right);B\left( {m;n;p} \right)\). Điều kiện để A, B nằm về hai phía của mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) là

A. \(cp < 0\). 

B. \(bn < 0\). 

C. \(am < 0\). 

D. \(c + p < 0\).

Câu 8: Hai điểm M và M’ phân biệt và đối xứng nhau qua mặt phẳng \({\rm{(Ox}}y)\). Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Hai điểm Mvà M’ có cùng tung độ và cao độ.

B. Hai điểm M và M’ có cùng hoành độ và cao độ.

C. Hai điểm M và M’ có hoành độ đối nhau.

D. Hai điểm M và M’ có cùng hoành độ và tung độ.

Câu 9: Cho \(\overrightarrow a = \left( {3;\, – 1;\,2} \right)\), \(\overrightarrow b = \left( {4;\,2;\, – 6} \right)\). Tính \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|\)?

A. \(8\). 

B. \(9\). 

C. \(\sqrt {66} \). 

D. \(5\sqrt 2 \).

Câu 10: Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {1;2;3} \right)\). Tìm tọa độ điểm \({A_1}\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\).

A. \({A_1}\left( {1;0;0} \right)\). 

B. \({A_1}\left( {0;2;3} \right)\). 

C. \({A_1}\left( {1;0;3} \right)\). 

D. \({A_1}\left( {1;2;0} \right)\).

ĐÁP ÁN

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
D	A	D	B	A	C	C	D	C	B

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Chuyên đề tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng Toán 12. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Chuyên đề tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng Toán 12

• Chuyên đề viết phương trình đường thẳng trong không gian Toán 12

Chúc các em học tốt!