Đề cương ôn tập giữa HK2 môn Toán 12 năm 2021-2022

a. Định nghĩa

Kí hiệu K là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng của R.

Cho hàm số f(x) xác định trên K.

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x ∈ K.

b. Tính chất

\(\int f\left( x \right)dx\text{ }=\text{ }F\left( x \right)\text{ }+\text{ }C,~C~~\in \text{ }R.\)

\(\int kf\left( x \right)dx\text{ }=k\text{ }\int f\left( x \right)dx\) (với k là hằng số khác 0)

\(\int \left( f\left( x \right)~\pm \text{ }g\left( x \right) \right)\text{ }=~\text{ }\int f\left( x \right)dx~\pm ~\text{ }\int g\left( x \right)dx\)

- Nắm được các nguyên hàm của các hàm số thường gặp

a. Định nghĩa

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Giả sử F(x)  là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a;b], hiệu số F(b) - F(a) được gọi là tích phân từ a đến \(b\) (hay tích phân xác định trên đoạn [a;b] của hàm số f(x).

Kí hiệu là : \(\int_{a}^{b}{f}(x)dx\)

Vậy ta có: \(\int_{a}^{b}{f}(x)dx=F(b)-F(a)=F(x)|_{a}^{b}\)

b. Phương pháp tinh tích phân

- Phương pháp đổi biến số

- Phương pháp tính tích phân từng phần

* Ứng dụng tích phân trong hình học

+ Tính diện tích hình phẳng

+ Tính thể tích vật thể

+ Tính thể tích khối tròn xoay

- Các khái niệm về mặt tròn xoay

- Định nghĩa, tính chất của mặt cầu

- Giao của mặt cầu với mặt phẳng, giao của mặt cầu với đường thẳng.

- Công thức diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu

- Hệ tọa độ trong không gian, biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ, tích vô hướng, phương trình mặt cầu….

Câu 1: Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào nhận giá trị đúng?

A. Hàm số y = 1/x có nguyên hàm trên (-∞; +∞).

B. 3x² là một số nguyên hàm của x³ trên (-∞; +∞).

C. Hàm số y = |x| có nguyên hàm trên (-∞;+∞).

D. 1/x + C là họ nguyên hàm của lnx trên (0;+∞).

Hướng dẫn giải

Dựa vào định lí: Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên

hàm trên K. Vì y = |x| liên tục trên R nên có nguyên hàm trên R .

Phương án A sai vì y=1/x không xác định tại x=0 ∈ (-∞;+∞).

Phương án B sai vì 3x² là đạo hàm của x³.

Phương án D sai vì 1/x là đạo hàm của lnx trên (0; +∞).

Vậy chọn đáp án C.

Câu 2: Tìm I=∫(3x² - x + 1)e^xdx

A. I = (3x² - 7x +8)e^x + C    

B. I = (3x² - 7x)e^x + C

C. I = (3x² - 7x +8) + e^x + C    

D. I = (3x² - 7x + 3)e^x + C

Hướng dẫn giải

Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần ta có:

Đặt u = 3x² - x + 1 và dv = e^xdx ta có du = (6x - 1)dx và v = e^x . Do đó:

∫(3x² - x + 1)e^xdx = (3x² - x + 1)e^x - ∫(6x - 1)e^xdx

Đặt u₁ = 6x - 1; dv₁ = e^xdx Ta có: du₁ = 6dx và v₁ = e^x .

Do đó ∫(6x - 1)e^xdx = (6x - 1)e^x - 6∫e^xdx = (6x - 1)e^x - 6e^x + C

Từ đó suy ra

∫(3x² - x + 1)e^xdx = (3x² - x + 1)e^x - (6x - 7)e^x + C = (3x² - 7x + 8)e^x + C

Vậy chọn đáp án A.

Câu 3: Tìm I = ∫cos(4x + 3)dx .

A. I = sin(4x + 2) + C    B. I = - sin(4x + 3) + C

C. I = (1/4).sin(4x + 3) + C   D. I = 4sin(4x + 3) + C

Hướng dẫn giải

Đặt u = 4x + 3

⇒ du = 4dx ⇒ dx = 1/4 du và cos(4x+3)dx được viết thành

\(\cos u.\frac{1}{4}du\)

Khi đó: \(\int {\cos (4{\rm{x}} + 3)d{\rm{x}} = \int {\frac{1}{4}} } \cos u{\rm{d}}u = \frac{1}{4}\sin u + C = \frac{1}{4}\sin (4{\rm{x}} + 3)\) 

Câu 4: Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = (2 tanx + cotx)² là:

A. 2tanx - cotx - x + C    

B. 4tanx + cotx - x + C

C. 4tanx - cotx + x + C    

D. 4tanx - cotx - x + C

Hướng dẫn giải

∫(2tanx + cotx)²dx = ∫(4tan²x + 2tanx.cotx + cot²x)dx

= ∫ [4(tan²x + 1) + (cot²x + 1) - 1]dx

= 4tanx = cotx - x + C

Câu 5: Một đám vi khuẩn tại ngày thứ t có số lượng là N(t). Biết rằng

\(N'(t) = \frac{{4000}}{{1 + 0,5t}}\) 

và lúc đầu đám vi khuẩn có 250000 con. Sau 10 ngày số lượng vi khuẩn xấp xỉ bằng:

A. 264334    

B. 263334    

C.264254    

D.254334.

Hướng dẫn giải

Số lượng vi khuẩn tại ngày thứ t bằng

\(N'(t) = \int {\frac{{4000}}{{1 + 0,5t}}dt}  = 8000\ln (1 + 0,5t) + C\) 

Với t = 0 ta có: N(0) = 250000,

Vậy N(t) = 8000.ln(1 + 0,5t) + 250000

khi đó N(10) ≈ 264334.

Câu 6: Thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục hoành một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = lnx, y = 0, x = 2 là:

A. π(ln²2 - 2ln2 + 1)    

B. 2π(ln²2 - 2ln2 + 1)

C. 4π(ln²2 - ln2 + 1)   

D. 2π(ln²2 - ln2 + 1)

Hướng dẫn giải

Phương trình giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành :

ln x = 0 ⇔ x = 1

Thể tích khối tròn xoay cần tính là :

\(V = \pi \int\limits_1^2 {{{\ln }^2}xd{\rm{x = 2}}\pi {\rm{(}}} {\ln ^2}2 - 2\ln 2 + 1)\) 

Câu 7: Trong không gian Oxyz,lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2;1;-3) và vuông góc với trục Oy

A. x + z + 1 = 0   

B. y - 1 = 0    

C. y + 1 = 0   

D. 2x + y - 3z - 1 = 0

Hướng dẫn giải

Vì mặt phẳng (P) vuông góc với trục Oy nên nhận vecto \(\overrightarrow{j}\)(0; 1; 0) làm vecto pháp tuyến.

Phương trình mặt phẳng(P) là:

0(x - 2) + 1(y - 1) + 0(z + 3) = 0 hay y – 1 = 0

Câu 8: Trong không gian Oxyz, lập phương trình của mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(1;0;1), B(2;1;3) và song song với trục Oz

A. x - y + 1 = 0    

B. x + y - 1 = 0   

C. x - y - 1 = 0    

D. x + z - 1 = 0

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\overrightarrow{AB}\)(1; 1; 2)

Trục Oz có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{k}\)(0; 0; 1).

Vì mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A , B và song song trục Oz nên mặt phẳng này vecto

[\(\overrightarrow{AB}\); \(\overrightarrow{k}\)] = (1; -1; 0) làm vecto pháp tuyến.

Phương trình mặt phẳng (P):

1(x - 1) -1(y - 0)+ 0( z - 1) = 0 hay x – y - 1= 0

Câu 9: Trong không gian Oxyz, cho M là một điểm thay đổi trên mặt cầu (S) có tâm I(2;2;2), bán kính R=1. Tập hợp những điểm M’ đối xứng với điểm M qua gốc tọa độ là mặt cầu (S’) có phương trình là:

A. (x - 2)² + (y - 2)² + (z - 2)² = 1    

C. (x + 2)² + (y - 2)² + (z - 2)² = 1

B. (x - 2)² + (y + 2)² + (z - 2)² = 1    

D. (x + 2)² + (y + 2)² + (z + 2)² = 1

Hướng dẫn giải

Tập hợp những điểm M’ đối xứng với điểm M qua gốc tọa độ là mặt cầu (S’) có tâm I’( -2; -2; -2) – là điểm đối xứng với tâm I qua gốc tọa độ O và bán kính R’ = R = 1.

Phương trình mặt cầu (S’) là: (x + 2)² + (y + 2)² + (z + 2)² = 1

Câu 10: Một hình chóp có 40 cạnh. Hình chóp đó có bao nhiêu mặt?

A. 20   

B. 21   

C. 22   

D. 40

Hướng dẫn giải

Gọi hình chóp đã cho là hình chóp n – giác, khi đó số cạnh của hình chóp là 2n=40. Suy ra n=20 và do đó số mặt của hình chóp là n+1=21

---(Để xem nội dung đầy đủ và chi tiết của Đề cương các em vui lòng xem Online hoặc Đăng nhập vào trang Hoc247.net để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích dẫn nội dung Đề cương ôn tập giữa HK2 môn Toán 12 năm 2021-2022. Để xem toàn bộ nội dung các em đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.