Giải bài tập Toán 11 Cánh Diều Chương 2 Bài 2: Cấp số cộng

Ruộng bậc thang là một hình thức canh tác có nhiều ở khu vực Tây Bắc và Đông Bắc Việt Nam. Hình ảnh ruộng bậc thang thể hiện nét đẹp văn hóa, là công trình nghệ thuật độc đáo của đồng bào vùng cao phía Bắc. Ruộng bậc thang ở một số nơi đã trở thành những địa chỉ tham quan du lịch đầy hấp dẫn của du khách trong nước và quốc tế.

Một ruộng bậc thang có thửa thấp nhất nằm ở độ cao \(1 250~m\) so với mực nước biểu, độ chênh lệch giữa thửa trên và thửa dưới trung bình là \(1,2~m\).

Hỏi thửa ruộng ở bậc thứ \(10\) có độ cao là bao nhiêu so với mực nước biển?

Cho dãy số – 2; 3; 8; 13; 18; 23; 28. Kể từ số hạng thứ hai, nêu mối liên hệ của mỗi số hạng với số hạng đứng ngay trước nó?

Cho (\(u_{n}\)) là cấp số cộng \(u_{1} = – 7, u_{2} = – 2\). Viết năm số hạng đầu của cấp số cộng đó?

Cho dãy số (\(u_{n}\)) với \(u_{n} = – 5n + 7 (n ≥ 1)\). Dãy (\(u_{n}\)) có là cấp số cộng không? Vì sao?

Cho cấp số cộng (\(u_{n}\)) có số hạng đầu \(u_{1}\), công sai d.

a) Viết năm số hạng đầu của cấp số cộng theo \(u_{1}\) và d?

b) Dự đoán công thức tính \(u_{n}\) theo \(u_{1}\) theo d?

Hãy giải bài toán trong phần mở đầu?

Cho cấp số cộng \((u_{n})\) có số dạng đầu \(u_{1}\), công sai d.

a) So sánh các tổng sau: \(u_{1} + u_{n}; u_{2} + u_{n-1}­; u_{3} + u_{n-2};...; u_{n} + u_{1}\)?

b) Đặt \(S_{n} = u_{1} + u_{2} + u_{3} + ... + u_{n}\). So sánh \(n(u_{n} + u_{1})\) với \(2S_{n}\)?

Tính tổng n số hạng đầu của mỗi cấp số cộng sau:

a) \(3; 1; – 1;\) ... với \(n = 10\);

b) \(1,2; 1,7; 2,2;\) ... với \(n = 15\).

Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp cố cộng?

a) \(10; – 2; – 14; – 26; – 38;\)

b) $\frac{1}{2};\frac{5}{4};2;\frac{11}{4};\frac{7}{2}$ ;

c) \(1^2; 2^2; 3^2; 4^2; 5^2;\)

d) \(1; 4; 7; 10; 13.\)

Trong các dãy số (u_n) với số hạng tổng quát sau, dãy số nào là cấp số cộng? Nếu là cấp số cộng, hãy tìm số hạng đầu u₁ và công sai d?

a) u_n = 3 – 2n;

b) u_n = $\frac{3n+7}{5}$ ;

c) u_n = 3ⁿ.

Cho cấp số cộng (\(u_n\)) có số hạng đầu \(u_1 = – 3\), công sai d = 5.

a) Viết công thức của số hạng tổng quát \(u_n\)?

b) Số \(492\) là số hạng thứ mấy của cấp số cộng trên?

c) Số \(300\) có là số hạng nào của cấp số cộng trên không?

Cho cấp số cộng (\(u_n\)) có \(u_1 = 4, u_2 = 1\). Tính \(u_{10}\)?

Cho cấp số cộng (\(u_n\)) có \(u_1 =\frac{1}{3}\) và \(u_1 + u_2 + u_3 = – 1\). 

a) Tìm công sai d và viết công thức của số hạng tổng quát \(u_n\)?

b) Số \(– 67\) là số hạng thứ mấy của cấp số cộng trên?

c) Số \(7\) có phải là một số hạng của cấp số cộng trên không?

Tính tổng 100 số hạng đầu của dãy số (\(u_n\)) với \(u_n = 0,3n + 5\) với mọi \(n \ge 1\)?

Chiều cao (đơn vị: centimet) của một đứa trẻ n tuổi phát triển bình thường được cho bởi công thức:

\(x_n = 75 + 5(n – 1)\)

(Nguồn: https://bibabo.vn)

a) Một đứa trẻ phát triển bình thường có chiều cao 3 năm tuổi là bao nhiêu centimet?

b) Dãy số (\(x_n\)) có là một cấp số cộng không? Trung bình một năm, chiều cao mỗi đứa trẻ phát triển bình thường tăng lên bao nhiêu centimet?

Khi kí kết hợp đồng lao động đối với người lao động, một doanh nghiệp đề xuất hai phương án trả lương như sau:

Phương án 1: Năm thứ nhất, tiền lương là 120 triệu. Kể từ năm thứ hai trở đi, mỗi năm, tiền lương được tăng 18 triệu.

Phương án 2: Quý thứ nhất, tiền lương là 24 triệu. Kể từ quý thứ hai trở đi, mỗi quý tiền lương được tăng 1,8 triệu.

Nếu là người được tuyển dụng vào doanh nghiệp trên, em sẽ chọn phương án nào khi:

a) Kí hợp đồng lao động 3 năm?

b) Kí hợp đồng lao động 10 năm?

Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với số hạng tổng quát sau, dãy số nào là cấp số cộng?

A. \({u_n} = {3^n}\)

B. \({u_n} = 1 - 3n\)

C. \({u_n} = {3^n} + 1\)

D. \({u_n} = 3 + {n^2}\)

Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_1} = \frac{1}{3}\), \({u_8} = 26\). Công sai \(d\) của cấp số cộng đó là:

A. \(\frac{{11}}{3}\)

B. \(\frac{{10}}{3}\)

C. \(\frac{3}{{10}}\)

D. \(\frac{3}{{11}}\)

Viết ba số hạng xen giữa 2 và 22 để được một cấp số cộng có năm số hạng. Ba số hạng đó lần lượt là:

A. 7; 12; 17

B. 6; 10; 14

C. 8; 13; 18

D. 6; 12; 18

Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_5} + {u_7} = 19\). Giá trị của \({u_2} + {u_{10}}\) là:

A. 38

B. 29

C. 12

D. 19

Cho \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1} = 2\), công sai \(d = - 5\). Tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng đó là:

A. \( - 410\)

B. \( - 205\)

C. \(245\)

D. \( - 230\)

Cho \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng có \({S_n} = {n^2} + 4n\) với \(n \in {\mathbb{N}^*}\). Số hạng đầu \({u_1}\) và công sai \(d\) của cấp số cộng đó là:

A. \({u_1} = 3\), \(d = 2\)

B. \({u_1} = 5\), \(d = 2\)

C. \({u_1} = 8\), \(d = - 2\)

D. \({u_1} = - 5\), \(d = 2\)

Cho ba số \(\frac{1}{{b + c}}\), \(\frac{1}{{c + a}}\), \(\frac{1}{{a + b}}\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng ba số \({a^2}\), \({b^2}\), \({c^2}\) theo thứ tự cũng lập thành một cấp số cộng?

Tìm \(x\) để ba số \(10 - 3x\), \(2{x^2} + 3\), \(7 - 4x\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng?

Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\), biết:

a) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_4} = 10\\{u_7} = 19\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} - {u_3} + {u_5} = 10\\{u_1} + {u_6} = 17\end{array} \right.\)

c) \(\left\{ \begin{array}{l}{S_{10}} = 165\\{S_{20}} = 630\end{array} \right.\)

Cho \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng có \({u_2} + {u_4} = 22\), \({u_1}{\rm{ }}{\rm{. }}{u_5} = 21\) và công sai \(d\) dương.

a) Tính \({u_{100}}\), \({S_{100}}\)

b) Tính tổng \({u_1} + {u_5} + {u_9} + ... + {u_{101}}\).

Tìm năm số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, biết tổng của chúng bằng 40 và tổng bình phương của chúng là 480?

Cho \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng có \({u_1} + {u_5} + {u_9} + {u_{13}} + {u_{17}} + {u_{21}} = 234\).

a) Tính \({u_2} + {u_8} + {u_{14}} + {u_{20}}\).

b) Tìm \({u_1}\), \(d\), biết \({u_{10}} = 37\).

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_1} = - 2\), \({u_{n + 1}} = \frac{{{u_n}}}{{1 - {u_n}}}\) với \(n \in {\mathbb{N}^*}\). Đặt \({v_n} = \frac{{{u_n} + 1}}{{{u_n}}}\) với \(n \in {\mathbb{N}^*}\).

a) Chứng minh rằng dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) là một cấp số cộng. Tìm số hạng đầu, công sai của cấp số cộng đó.

b) Tìm công thức của \({v_n}\), \({u_n}\) tính theo \(n\).

c) Tính tổng \(S = \frac{1}{{{u_1}}} + \frac{1}{{{u_2}}} + \frac{1}{{{u_3}}} + ... + \frac{1}{{{u_{20}}}}\).

Chuông đồng hồ ở một toà tháp đánh số tiếng đúng bằng số giờ và cứ mỗi 30 phút không phải là giờ đúng thì đánh 1 tiếng chuông. Hỏi bắt đầu từ lúc 1 giờ đêm đến 12 giờ trưa, chuông đồng hồ đó đã đánh tất cả bao nhiêu tiếng?

Các khúc gỗ được xếp như hình bên dưới. Lượt thứ nhất có 21 khúc, lượt thứ hai có 20 khúc, …, lượt trên cùng có 15 khúc. Tính tổng số khúc gỗ đã được xếp?