Trong bài học hôm nay, chúng ta sẽ khám phá về một loại dãy số đặc biệt trong toán học, đó là cấp số cộng trong chương trình Toán 11 Chân trời sáng tạo. Một trong những ứng dụng thú vị của cấp số cộng là trong việc mô hình hóa và giải quyết các bài toán có liên quan đến sự gia tăng đều. Ví dụ, chúng ta có thể sử dụng cấp số cộng để mô hình hóa tình hình tăng trưởng dân số, tăng trưởng kinh tế, hoặc thậm chí trong phân tích dữ liệu. Cùng nhau tìm hiểu về quy luật và tính chất thú vị của cấp số cộng, từ đó nắm vững cách áp dụng chúng vào giải quyết các bài toán toán học và thực tế.
Tóm tắt lý thuyết
1.1. Cấp số cộng
|
Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), mà trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng số hạng đứng ngay trước nó với một số d không đổi, nghĩa là: un+1 =un + d với \(n\in N*\). Số d được gọi là công sai của cấp số cộng. |
Nhận xét: Nếu (\(u_n\)) là cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung binh cộng của hai số hạng đứng kể nó trong dãy, tức là:
\[{u_k} = \frac{{{u_{k - 1}} + {u_{k + 1}}}}{2}, k\ge 2.\]
1.2. Số hạng tổng quát của cấp số cộng
Định lý 1:
|
Nếu cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un của nó được xác định theo công thức un = u1 + (n - 1)d, n ≥ 2. |
1.3. Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng
Định lý 2:
|
Giả sử (un ) là một cấp số cộng với công sai d. Đặt Sn = u1+ u2 +...+ un. Khi đó \(S_n = {n(u_1 + u_n)\over 2}\) hay \(S_n = {n[2u_1 + (n - 1)d]\over 2}\). |
Bài tập minh họa
Câu 1: Cho \(a,b,\,c\) theo thứ tự này là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng. Biết \(a+b+c=45\). Giá trị của \(b\) bằng
A. \(9\).
B. \(15\).
C. \(5\).
D. \(30\).
Hướng dẫn giải
Chọn B
Do \(a,b,\,c\) theo thứ tự này là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng nên \(2b=a+c\).
Mặt khác \(a+b+c=45\) nên ta có \(3b=45\Leftrightarrow b=15\)
Vậy \(b=15\).
Câu 2: Có bao nhiêu giá trị thực của x để 3 số \({{x}^{4}};{{x}^{2}};3{{x}^{2}}-9\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng?
A. 2.
B. 4.
C. 0.
D. 1.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Để 3 số trên lập thành cấp số cộng thì: \({{x}^{4}}+3{{x}^{2}}-9=2{{x}^{2}}\)
Đặt \(t={{x}^{2}}\left( t\ge 0 \right)\), phương trình trở thành
\({{t}^{2}}+t-9=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=\frac{-1+\sqrt{37}}{2}(tm) \\ & t=\frac{-1-\sqrt{37}}{2}(l) \\ \end{align} \right.\) \(t=\frac{-1+\sqrt{37}}{2}\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{\frac{-1+\sqrt{37}}{2}}\).
Vậy có 2 giá trị thực của x thỏa mãn đề bài.
Luyện tập Bài 2 Toán 11 Chân Trời Sáng Tạo
Học xong bài học này, em có thể:
– Nhận biết được cấp số cộng. Giải thích được công thức xác định số hạng tổng quát của cấp số cộng.
– Tính được tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng và cấp số nhân. Giải quyết được một số vấn đề thực tiễn gắn với cấp số cộng.
3.1. Trắc nghiệm Bài 2 Toán 11 Chân Trời Sáng Tạo
Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Chân trời sáng tạo Chương 2 Bài 2 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết.
-
- A. \({{u}_{n}}=5\cdot {{4}^{n-1}}.\)
- B. \({{u}_{n}}=5+{{4}^{n-1}}.\)
- C. \({{u}_{n}}=5n.\)
- D. \({{u}_{n}}=4n+1.\)
-
- A. \(27\).
- B. \(35\).
- C. \(31\).
- D. \(29\).
-
- A. \(32\).
- B. \(53\).
- C. \(48\).
- D. \(35\).
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức về bài học này nhé!
3.2. Bài tập SGK Bài 2 Toán 11 Chân Trời Sáng Tạo
Các em có thể xem thêm phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo Chương 2 Bài 2 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.
Hoạt động khởi động trang 52 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Hoạt động khám phá 1 trang 53 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Thực hành 1 trang 53 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Thực hành 2 trang 53 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Vận dụng 1 trang 53 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Hoạt động khám phá 2 trang 54 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Thực hành 3 trang 54 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Vận dụng 2 trang 54 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Hoạt động khám phá 3 trang 54 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Thực hành 4 trang 55 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Vận dụng 3 trang 55 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Giải Bài 1 trang 56 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Giải Bài 2 trang 56 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Giải Bài 3 trang 56 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Giải Bài 4 trang 56 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Giải Bài 5 trang 56 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Giải Bài 6 trang 56 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Giải Bài 7 trang 56 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Giải Bài 8 trang 56 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Bài tập 1 trang 60 SBT Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 2 trang 60 SBT Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 3 trang 60 SBT Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 4 trang 60 SBT Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 5 trang 60 SBT Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 6 trang 61 SBT Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 7 trang 61 SBT Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 8 trang 61 SBT Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 9 trang 61 SBT Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo - CTST
Hỏi đáp Bài 2 Toán 11 Chân Trời Sáng Tạo
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán học HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
-- Mod Toán Học 11 HỌC247
