YOMEDIA
NONE

Tìm tất cả các số nguyên n sao cho tồn tại các số nguyên dương x,y,z thỏa x^3+y^3+z^3=nx^2y^2z^2

tìm tất cả các số nguyên n sao cho tồn tại các số nguyên dương x,y,z thỏa \(x^3+y^3+z^3=nx^2y^2z^2\)

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Trần Thịnh

    Lời giải:

    Từ \(x^3+y^3+z^3=nx^2y^2z^2\Rightarrow n=\frac{x}{y^2z^2}+\frac{y}{x^2z^2}+\frac{z}{x^2y^2}\)

    Gọi \(x=\max (x,y,z)\)

    Ta thấy \(x^2|x^3+y^3+z^3\rightarrow x^2|y^3+z^3\rightarrow y^3+z^3\geq x^2\)

    TH1: \(x>y^2z^2\)

    \(\Rightarrow y^3+z^3>y^4z^4\Leftrightarrow y^3(1-\frac{yz^4}{2})+z^3(1-\frac{y^4z}{2})>0 \)

    Nếu \(yz\geq 2\) thì điều trên hoàn toàn vô lý. Suy ra \(yz\leq 1\rightarrow y=z=1\)

    \(\Rightarrow x^3+2=nx^2\rightarrow x^2|2\rightarrow x=1\), ta thu được \(n=3\)

    TH2: \(x< y^2z^2\)

    Khi đó \(n=\frac{x}{y^2z^2}+\frac{y}{x^2z^2}+\frac{z}{x^2y^2}\leq \frac{3x}{y^2z^2}<3\)

    \(\Rightarrow n=1,2\)

    Ta sẽ thử xem hai giá trị này có thỏa mãn không.

    Với \(n=1\) \(\Rightarrow x^3+y^3+z^3=x^2y^2z^2\)

    Cho \(z=1\Rightarrow x=3,y=2\) (biến đổi PT tích) thỏa mãn nên $n=1$ cũng thỏa mãn.

    Với \(n=2\) \(\Rightarrow 2=\frac{x}{y^2z^2}+\frac{y}{x^2z^2}+\frac{z}{x^2y^2}<1+\frac{y}{x^2z^2}+\frac{z}{x^2y^2}\)

    \(\Rightarrow y^3+z^3\geq x^2y^2z^2\geq y^3z^3\) do $x$ max

    \(\Rightarrow (y^3-1)(z^3-1)\leq 1\) nên \((y^3-1)(z^3-1)=0,1\)

    Dễ thấy \((y^3-1)(z^3-1)=1\) không thỏa mãn nên \((y^3-1)(z^3-1)=0\). nên tồn tại một số bằng $1$, giả sử là $y=1$

    Bên trên vừa chỉ ra được \(y^3+z^3\geq x^2y^2z^2\Rightarrow z^3+1\geq x^2z^2\geq z^4\)

    \(\Rightarrow 1\geq z^3(z-1)\rightarrow z=1\)

    Thay vào PT ban đầu ta không thu được nghiệm $x$ thỏa mãn

    Vậy \(n\in\left\{1,3\right\}\)

    P/s: Bài này là 1 bài trong China TST 1987, nó là toán olympiad nên để trong box toán 9 không hợp lý

    Trên mạng tất nhiên đã có lời giải cho bài toán này, nói chung là ý tưởng cũng xêm xêm nhau.

    Đây là bài làm của mình từ năm lớp 10, ý tưởng hoàn toàn độc lập, coi như mình cũng chỉ "viết lại" thôi.

      bởi Trần Thịnh 22/02/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON