YOMEDIA
NONE

Tìm nghiệm nguyên x,y thỏa mãn 3^x+16=5^y

tìm nghiệm nguyên x,y thỏa mãn

\(3^x+16=5^y\)

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Huỳnh Nguyễn Mai Trâm

    Lời giải:

    Ta có: \(3^x+16=5^y\)

    Vì \(5^y>16\Rightarrow y>1\)

    Khi đó: \(3^x=5^y-16\in\mathbb{Z}\Rightarrow x\geq 0\)

    Vậy $x,y$ đều là các số nguyên không âm.

    Xét hai TH sau:

    TH1: $x$ lẻ: Đặt \(x=2k+1\)

    \(\Rightarrow 3^x+16=3^{2k+1}+16=9^k.3+16\)

    Thấy rằng:

    \(9^k\equiv 1\pmod 8\Rightarrow 9^k.3+16\equiv 3+16\equiv 3\pmod 8\)

    \(\Leftrightarrow 3^x+16\equiv 3\pmod 8\)

    Lại có:

    \(5^y=5^{2t}=25^t\equiv 1^t\equiv 1\not\equiv 3\pmod 8\) nếu $y$ chẵn

    \(5^y=5^{2t+1}=25^t.5\equiv 1^t.5\equiv 5\not\equiv 3\pmod 8\) nếu $y$ lẻ

    Do đó TH này vô lý

    TH2: $x$ chẵn. Đặt \(x=2k\)

    \(3^{x}+16=3^{2k}+16=9^k+16\equiv 1^k+16\equiv 1\pmod 8\)

    Theo kết quả của TH1 thì \(5^y\equiv 1\pmod 8\) với $y$ chẵn và \(5^y\equiv 5\pmod 8\) với $y$ lẻ

    Do đó để \(3^x+16=5^y\Rightarrow y\) chẵn. Đặt \(y=2t\)

    Khi đó: \(3^{2k}+16=5^{2t}\)

    \(\Leftrightarrow 16=(5^t-3^k)(5^t+3^k)\)

    Thấy \(5^t-3^k, 5^t+3^k\) có cùng tính chẵn lẻ, \(5^t+3^k>5^t-3^k,5^t+3^k>0\) nên ta chỉ thu được TH duy nhất là:

    \(\left\{\begin{matrix} 5^t+3^k=8\\ 5^t-3^k=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow 2.5^t=10\Leftrightarrow t=1\rightarrow k=1\)

    Do đó \(x=y=2\)

    Thử lại thấy thỏa mãn. Vậy \(x=y=2\)

      bởi Huỳnh Nguyễn Mai Trâm 21/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON