YOMEDIA
NONE

Tìm 2 chữ số tận cùng của S = 1^22 + 2^22 + 3^22 +... + 2015^22

Tìm 2 chữ số tận cùng của S = 1^22 + 2^22 + 3^22 + ... + 2015^22

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Mạc Lý Hồng Ngọc

    Lời giải:

    Ta có:

    \(S=1^{22}+2^{22}+3^{22}+...+2015^{22}\)

    \(S=2^2(2^{20}-1)+3^2(3^{20}-1)+...+2015^2(2015^{20}-1)+(1^2+2^2+...+2015^2)\)

    Xét số tổng quát \(a^2(a^{20}-1)\)

    Nếu $a$ chẵn thì \(a\vdots 2\Rightarrow a^2\vdots 4\Rightarrow a^2(a^{20}-1)\vdots 4\)

    Nếu $a$ lẻ. Ta biết một số chính phương chia $4$ dư $0,1$. Mà $a$ lẻ nên \(a^2\equiv 1\pmod 4\)

    \(\Rightarrow a^{20}\equiv 1^{10}\equiv 1\pmod 4\)

    \(\Rightarrow a^2(a^{20}-1)\vdots 4\)

    Vậy \(a^2(a^{20}-1)\vdots 4\) (1)

    Mặt khác:

    Xét $a$ chia hết cho $5$ suy ra \(a^2\vdots 25\Rightarrow a^2(a^{20}-1)\vdots 25\)

    Xét $a$ không chia hết cho $5$ tức $(a,5)$ nguyên tố cùng nhau.

    Áp dụng định lý Fermat nhỏ: \(a^4\equiv 1\pmod 5\)

    Có \(a^{20}-1=(a^4-1)[(a^4)^4+(a^4)^3+(a^4)^2+(a^4)^1+1]\)

    \(a^4\equiv 1\pmod 5\rightarrow a^4-1\equiv 0\pmod 5\)

    \((a^4)^4+(a^4)^3+(a^4)^2+(a^4)^1+1\equiv 1^4+1^3+1^2+1^1+1\equiv 5\equiv 0\pmod 5\)

    Do đó: \(a^{20}-1=(a^4-1)[(a^4)^4+...+1]\vdots 25\)

    Vậy trong mọi TH thì \(a^2(a^{20}-1)\vdots 25\) (2)

    Từ (1)(2) suy ra \(a^2(a^{20}-1)\vdots 100\)

    Do đó: \(2^2(2^{20}-1)+3^2(3^{20}-1)+...+2015^2(2015^{20}-1)\vdots 100\)

    Mặt khác ta có công thức sau:

    \(1^2+2^2+..+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)

    \(\Rightarrow 1^2+2^2+..+2015^2=\frac{2015(2015+1)(2.2015+1)}{6}\equiv 40\pmod {100}\)

    Do đó S có tận cùng là 40

      bởi Mạc Lý Hồng Ngọc 28/12/2018
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON