YOMEDIA
NONE

Chứng minh rằng căn(a+b/c)+căn(b+c/a)+căn(c+a/b)>=2(căn(c/a+b)+căn(b/a+c)+căn(a/b+c))

cho a,b,c >0 chứng minh rằng

\(\sqrt{\dfrac{a+b}{c}}+\sqrt{\dfrac{b+c}{a}}+\sqrt{\dfrac{c+a}{b}}>=2\left(\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}+\sqrt{\dfrac{b}{a+c}}+\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}\right)\)

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Nguyễn Thị Thu Hương

    Lời giải:

    Đặt \(\left ( \sqrt{\frac{a}{b+c}},\sqrt{\frac{b}{a+c}},\sqrt{\frac{c}{a+b}} \right )=(x,y,z)\)

    \(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^2=\frac{a}{b+c}\\ y^2=\frac{b}{a+c}\\ z^2=\frac{c}{a+b}\end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}+\frac{1}{z^2+1}=2\)

    \(\Leftrightarrow (1-\frac{1}{x^2+1})+(1-\frac{1}{y^2+1})+(1-\frac{1}{z^2+1})=1\)

    \(\Leftrightarrow \frac{x^2}{x^2+1}+\frac{y^2}{y^2+1}+\frac{z^2}{z^2+1}=1\)

    BĐT cần chứng minh tương đương:

    \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 2(x+y+z)(\star)\)

    Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

    \(\left ( \frac{x^2}{x^2+1}+\frac{y^2}{y^2+1}+\frac{z^2}{z^2+1} \right )(x^2+1+y^2+1+z^2+1)\geq (x+y+z)^2\)

    \(\Leftrightarrow x^2+1+y^2+1+z^2+1\geq (x+y+z)^2\)

    \(\Leftrightarrow xy+yz+xz\leq \frac{3}{2}\)

    Kết hợp với hệ quả của BĐT AM-GM :

    \((xy+yz+xz)^2\geq 3xyz(x+y+z)\)

    \(\Rightarrow xy+yz+xz\geq \frac{3xyz(x+y+z)}{xy+yz+xz}\geq \frac{3xyz(x+y+z)}{\frac{3}2{}}=2xyz(x+y+z)\)

    \(\Leftrightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{2xyz(x+y+z)}{xyz}=2(x+y+z)\)

    Do đó BĐT \((\star)\) được chứng minh.

    Bài toán hoàn thành. Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c\)

      bởi Nguyễn Thị Thu Hương 28/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON