Chứng minh rằng cả ba số x,y,z cùng chia hết cho 3 hoặc hai trong 3 số đó có tổng chia hết cho 9

bài toán này bắt nguồn 1 phần từ bài: Cho x;y;z nguyên thỏa mãn \(x^3+y^3+z^3⋮3\). Chứng minh \(x+y+z⋮3\)

Quay về bài toán đầu: (cũng chứng minh luôn bài toán trên)

Ta có: (x + y + z)³ = x³ + y³ + z³ +3(x + y)(y + z)(z + x) (*)

Lại có: \(x^3+y^3+z^3⋮3;3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)⋮3\) nên \(\left(x+y+z\right)^3⋮3\)\(\Rightarrow x+y+z⋮3\)

\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^3⋮27\)

Kết hợp với (*) và \(x^3+y^3+z^3⋮27\)\(\Rightarrow3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)⋮27\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)⋮9\left(1\right)\)

+) Nếu cả 3 số x;y;z cùng chia hết cho 3 ta có đpcm

+) Nếu 3 số x;y;z không cùng chia hết cho 3

Thấy rẳng nếu x;y;z cùng dư 1 hoặc 2 thì mâu thuẫn với (1)

Do đó, để (1) đúng thì trong 3 số x;y;z chỉ có 2 số chia hết cho 3 hoặc có 1 số chia 3 dư 1; 1 số chia 3 dư 2

- Nếu trong 3 số x;y;z chỉ có 2 số chia hết cho 3; giả sử x;y chia hết cho 3

Khi đó; \(x+y⋮3;y+z⋮̸3;z+x⋮̸̸3\)

Để (1) đúng thì \(x+y⋮9\left(đpcm\right)\)

- Nếu trong 3 số x;y;z có 1 số chia 3 dư 1; 1 số chia 3 dư 2; giả sử 2 số đó là y;z

Khi đó, \(x+y⋮̸3;y+z⋮3;z+x⋮̸3\)

Để (1) đúng thì \(y+z⋮9\left(đpcm\right)\)

Vậy ta có đpcm