YOMEDIA
NONE

Chứng minh rằng a/1+b^2c+ b/1+c^2d+c/d^2a+d/1+a^2b>=2

Cho a, b, c, d > 0 thỏa mãn a + b + c + d = 4.

CMR : \(\frac{a}{1+b^2c}+\frac{b}{1+c^2d}+\frac{c}{1+d^2a}+\frac{d}{1+a^2b}\ge2\)

(Bài này phân tích dưới mẫu nhưng mà đoạn sau lại tương đối khó và mk cx chưa nghĩ ra)

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Nguyễn Thu Hà

    Giải:

    Áp dụng BĐT AM - GM ta có:

    \(\dfrac{a}{1+b^2c}=a-\dfrac{ab^2c}{1+b^2c}\ge a-\dfrac{ab^2c}{2b\sqrt{c}}\) \(=a-\dfrac{ab\sqrt{c}}{2}\)

    \(\ge a-\dfrac{b\sqrt{a.ac}}{2}\ge a-\dfrac{b\left(a+ac\right)}{4}\) \(\ge a-\dfrac{1}{4}\left(ab+abc\right)\)

    \(\Rightarrow\dfrac{a}{1+b^2c}\ge a-\dfrac{1}{4}\left(ab+abc\right).\) Tượng tự ta cũng có:

    \(\dfrac{b}{1+c^2d}\ge b-\dfrac{1}{4}\left(bc+bcd\right);\dfrac{c}{1+d^2a}\ge c-\dfrac{1}{4}\left(cd+cda\right);\dfrac{d}{1+a^2b}\ge d-\dfrac{1}{4}\left(da+dab\right)\)

    Cộng theo vế 4 BĐT trên ta được:

    \(\dfrac{a}{1+b^2c}+\dfrac{b}{1+c^2d}+\dfrac{c}{1+d^2a}+\dfrac{d}{1+a^2b}\)

    \(\ge a+b+c+d-\dfrac{1}{4}\)\(\left(ab+bc+cd+da+abc+bcd+cda+dab\right)\)

    Lại áp dụng BĐT AM - GM ta có:

    \(ab+bc+cd+da\) \(\le\dfrac{1}{4}\left(a+b+c+d\right)^2=4\)

    \(abc+bcd+cda+dab\) \(\le\dfrac{1}{16}\left(a+b+c+d\right)^3=4\)

    Do đó:

    \(\dfrac{a}{1+b^2c}+\dfrac{b}{1+c^2d}+\dfrac{c}{1+d^2a}+\dfrac{d}{1+a^2b}\)

    \(\ge a+b+c+d-2=2\)

    Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=d=1\)

      bởi Nguyễn Thu Hà 04/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON