YOMEDIA
NONE

Chứng minh căn(x+yz)+căn(y+xz)+căn(z+xy)

Cho 3 số x, y, z dương TM: \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1\). CMR:

\(\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+xz}+\sqrt{z+xy}\ge\sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\)

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Đức Phúc

    Lời giải:

    Ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\Leftrightarrow xy+yz+xz=xyz\)

    \(\Rightarrow x^2+xy+yz+xz=x^2+xyz=x(x+yz)\)

    \(\Leftrightarrow x+yz=\frac{x^2+xy+yz+xz}{x}=\frac{(x+y)(x+z)}{x}\)

    \(\Rightarrow \sqrt{x+yz}=\sqrt{\frac{(x+y)(x+z)}{x}}\)

    Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:\((x+y)(x+z)\geq (x+\sqrt{yz})^2\)

    \(\Rightarrow \sqrt{x+yz}=\sqrt{\frac{(x+y)(x+z)}{x}}\geq \frac{x+\sqrt{yz}}{\sqrt{x}}\)

    Hoàn toàn tương tự:

    \(\sqrt{y+xz}\geq \frac{y+\sqrt{xz}}{\sqrt{y}}\); \(\sqrt{z+xy}\geq \frac{z+\sqrt{xy}}{\sqrt{z}}\)

    Cộng theo vế các BĐT đã thu được ta có:

    \(\text{VT}\geq \frac{x+\sqrt{yz}}{\sqrt{x}}+\frac{y+\sqrt{xz}}{\sqrt{y}}+\frac{z+\sqrt{xy}}{\sqrt{z}}=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\frac{xy+yz+xz}{\sqrt{xyz}}\)

    \(\Leftrightarrow \text{VT}\geq \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\frac{xyz}{\sqrt{xyz}}=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\sqrt{xyz}=\text{VP}\)

    Do đó ta có đpcm.

    Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=3\)

      bởi Đức Phúc 31/10/2018
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON