Tính độ dài đoạn thẳng AB, BM biết tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến CM

a) Áp dụng định lý Pi-ta-go vào tamgiac vuông ABC có:

AB² = BC² - AC²

Thay: AB² = 10² - 6² = 100 - 36 = 64

Nên AB = 8 ( cm )

Ta có: CM là đường trung tuyến

=> AM = BM

Mà AM + BM = AB

=> 2.BM = 8 <=> BM = 4 (cm)

Vậy BM = 4 (cm)

b) Xét 2 tam giác AMC và BMD, có:

AM = BM (vì CM là trung tuyến)

CM = DM (gt)

góc AMC = góc BMD (đ.đ)

=> tamgiac AMC = tamgiac BMD ( c.g.c)

Nên AC = BD (2 cạnh tương ứng)

c) Ta có: CD = CM + DM

Mà CM = DM ( gt )

=> CD = 2.CM

Trong tamgiac BDC có:

BC + BD > CD ( bất đẳng thức tamgiac)

Hay BC + BD > 2.CM (cmt)

Mà BD = AC

=> BC + AC > 2.CM ( đpcm)

d) Thêm đề: Gọi K là điểm nằm trên đoạn thẳng AM sao cho AK = \(\dfrac{2}{3}\) AM

Vì AK = \(\dfrac{2}{3}\) AM

=> K là trọng tâm

Hay CM đi qua K là đường trung tuyến

=> AN = DN

Mà N \(\in\) AD

=> BN là đường trung tuyến (1)

Mặt khác: BM = AM => DM là đường trung tuyến (2)

Ngoài ra I là giao điểm BN và DM (3)

Từ (1) (2) (3)

=> I là trọng tâm tamgiac DAB

=> \(ID=\dfrac{2}{3}DM\)

Hay: \(DM=\dfrac{3}{2}ID\)

Mà: CD = 2.DM

=> \(CD=2.\dfrac{3}{2}ID=3.ID\)(đpcm)