Tìm số tự nhiên n để A=(n+5).(n+6) chia hết cho 6n

\(\left\{{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}n\in N\\A\in Z\end{matrix}\right.\\A=\dfrac{\left(n+5\right)\left(n+6\right)}{6n}\end{matrix}\right.\)

\(B=6A=\dfrac{6n^2+66n+6.30}{6n}=\dfrac{6n\left(n+11\right)+6.30}{6n}\)

\(B=n+11+\dfrac{6.30}{6n}=n+11+\dfrac{30}{n}\)

Điều kiện cần B phải nguyên => n thuộc ước 30

n={1,2,3,5,6,10,15,30}

Điều kiện đủ

B phải chia hết cho 6

Thay n={1,2,3,5,6,10,15,30} cái nào chia hết cho 6 thì lấy.

cách khác cho bạn tham khảo nếu không muốn kiểu thử dần số liệu .

\(A=\dfrac{n^2+12n-n+30}{6n}=2+\dfrac{n^2-n+30}{6n}=2+B\)

\(b=\dfrac{n^2-n+30}{6n}\Rightarrow n^2-n+30=6bn\)

\(n^2-\left(6b+1\right)n+30=0\Leftrightarrow\left(n^2-\dfrac{6b+1}{2}\right)^2=\dfrac{\left(6b+1\right)^2-4.30}{2^2}\)

điều kiện cần:

\(\left(6b+1\right)^2+120=k^2\Rightarrow k^2-\left(6b+1\right)^2=120\)

Hệ nghiệm nguyên

\(\left\{{}\begin{matrix}k-\left(6b+1\right)=a\\k+\left(6b+1\right)=b\end{matrix}\right.\) với a, b là ước của 120