Tìm số nguyên tố x, y thỏa x^2 - 2y^2 = 1

Giải:

Ta có:

\(x^2-2y^2=1\)

\(\Rightarrow x^2-1=2y^2\) \(\left(1\right)\)

+ Nếu x chia hết cho 3 thì \(x=3\) (vì x là số nguyên tố). Thay vào (1) ta có :

\(3^2-1=2y^2=8\)

\(\Rightarrow y^2=4\)

\(\Rightarrow y=2\)

+ Nếu x không chia hết cho 3 thì x có dạng \(3k+1\) hoặc \(3k+2\) (\(k ∈ N\))

Với \(x=3k+1\) thì:

\(2y^2=x^2-1\)

\(=\left(x-1\right).\left(x+1\right)\)

\(=\left(3k+1-1\right).\left(3k+1+1\right)\)

\(=3k.\left(3k+2\right):3\)

Với \(x=3k+2\) thì:

\(2y^2=x^2-1\)

\(=\left(x-1\right).\left(x+1\right)\)

\(=\left(3k+2-1\right).\left(3k+2+1\right)\)

\(=\left(3k+1\right).\left(3k+3\right)\)

\(=3.\left(3k+1\right).\left(k+1\right):3\)

Như vậy với mọi x không chia hết cho 3 thì \(x^2-1:3\)

\(\Rightarrow2y^2:3\)

Mà \(\left(2;3\right)=1\)

Nên \(y^2⋮3\). Do 3 là số nguyên tố nên \(y⋮3\) . Mà y là số nguyên tố nên

\(y=3\)

Thay \(y=3\) vào \(\left(1\right)\) ta có:

\(x^2-1=2.3^2=18\)

\(\Rightarrow x^2=19\)

\(\Rightarrow x=\sqrt{19}\) ( không thỏa mãn )

Vậy chỉ có 1 cặp số \(\left(x;y\right)\) thỏa mãn là \(x=3,y=2\)

Ahihi tớ giải đại thôi, có sai đừng ném đá nha ~~