Chứng minh tam giác PIM=tam giác PIN biết tam giác MNP cân tại P, IE vuông PM

a) Xét \(\Delta PIM;\Delta PIN\) có :

\(PM=PN\) (tam giác MNP cân tại P)

\(\widehat{MPI}=\widehat{NPI}\) (PI là tia phân giác của \(\widehat{MPN}\) )

\(PI:chung\)

=> \(\Delta PIM=\Delta PIN\left(c.g.c\right)\)

*Cách khác :

Xét \(\Delta PIM;\Delta PIN\) có :

\(\widehat{PMI}=\widehat{PNI}\) (tam giác MNP cân tại P)

\(PM=PN\)(tam giác MNP cân tại P)

\(\widehat{MPI}=\widehat{NPI}\) (PI là tia phân giác của góc MPN)

=> \(\Delta PIM=\Delta PIN\left(g.c.g\right)\)

b) Xét \(\Delta PEI;\Delta PFI\) có :

\(\widehat{PEI}=\widehat{PFI}\left(=90^{^O}\right)\)

\(PI:Chung\)

\(\widehat{EPI}=\widehat{FPI}\left(cmt\right)\)

=> \(\Delta PEI=\Delta PFI\) (cạnh huyền - góc nhọn)

=> \(IE=IF\) (2 cạnh tương ứng)

c) Ta chứng minh được \(\Delta PIK=\Delta PIH\left(g.c.g\right)\)

Suy ra : \(PK=PH\) (2 cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta PHK\) có :

\(PK=PH\left(cmt\right)\)

=> \(\Delta PHK\) cân tại P (đpcm)

d) Xét \(\Delta PEF\) cân tại E có :

\(\widehat{PEF}=\widehat{PFE}=\dfrac{180^o-\widehat{P}}{2}\left(1\right)\)

Xét \(\Delta PKH\) cân tại P (cmt) có :

\(\widehat{PKH}=\widehat{PHK}=\dfrac{180^o-\widehat{P}}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{PEF}=\widehat{PKH}\left(=\dfrac{180^o-\widehat{P}}{2}\right)\)

Mà thấy : 2 góc này đều ở vị trí đồng vị

=> \(\text{EF // HK (đpcm)}\)