Chứng minh tam giác OBC cân biết tam giác ABC cân tại A, A < 90

a) Xét \(\Delta ABH\) có \(\widehat{AHB} = 90^0\)(\(BH \perp AC \) (gt))

\(\Rightarrow\)\(\widehat{BAH} + \widehat{ABH} =90^0\) (định lí tam giác vuông) (1)

Xét \(\Delta ACK\) có: \(\widehat{AKC} = 90^0\) (\(CK \perp AB\)(gt))

\(\Rightarrow\)\(\widehat{CAK} + \widehat{ACK} = 90^0\) (định lí tam giác vuông) (2)

Từ (1)(2)

\(\Rightarrow\)\(\widehat{ABH} = \widehat{ACK}\)

Xét \(\Delta ABH\) và \(\Delta ACK\) có:

\(\widehat{A}\) chung

AB = AC (\(\Delta ABC\) cân tại A (gt))

\(\widehat{ABH} = \widehat{ACK}\) (cmt)

\(\Rightarrow\)\(\Delta ABH = \Delta ACK\) (gcg)

b) Ta có:

\(\widehat{ABH} + \widehat{HBC} = \widehat{ABC}\)

\(\widehat{ACK} + \widehat{KCB} = \widehat{ACB}\)

mà \(\widehat{ABH} = \widehat{ACK}\) (cm.a)

\(\widehat{ABC} = \widehat{ACB}\) (\(\Delta ABC\) cân tại A (gt))

\(\Rightarrow\)\(\widehat{HBC} = \widehat{KCB}\)

Xét \(\Delta OBC\) có \(\widehat{HBC} = \widehat{KCB}\) (cmt)

\(\Rightarrow\)\(\Delta OBC\) cân tại O (t/c)

c) Vì \(\Delta OBC\) cân tại O (cm.b)

\(\Rightarrow\) OB = OC (đ/n)

Xét \(\Delta OBK\) và \(\Delta OCH\) có:

\(\widehat{OKB} = \widehat{OHC} = 90^0\)

\(OB = OC (cmt)\)

\(\widehat{ABH} = \widehat{ACK}\) (cm.a)

\(\Rightarrow\)\(\Delta OBK = \Delta OCH (ch-gn)\)

d) Gọi D là giao điểm của AO và BC

Vì \(\Delta ABC \) cân tại A (gt)

\(\Rightarrow\) AB =AC (đ/n)

\(\Rightarrow\)AD là đường trung trực của BC

hay AO là đường trung trực của BC (3)

Vì IB = IC (gt)

\(\Rightarrow\)ID là đường trung trực của BC (4)

Từ (3)(4)

\(\Rightarrow AO\equiv ID\)

hay A,O,I thẳng hàng