Chứng minh tam giác MHN cân biết I, K là trung điểm của AB và AC và IM=IC

Lời giải:

Xét tam giác $MIA$ và $CIB$ có:

\(\left\{\begin{matrix} \widehat{MIA}=\widehat{CIB}(\text{đối đỉnh})\\ MI=CI\\ IA=IB\end{matrix}\right.\Rightarrow \triangle MIA=\triangle CIB(c.g.c)\)

\(\Rightarrow \widehat{MAI}=\widehat{CBI}\Leftrightarrow \widehat{MAB}=\widehat{ABC}\)

Tương tự:

\(\triangle NKA=\triangle BKC(c.g.c)\Rightarrow \widehat{NAK}=\widehat{BCK}\Leftrightarrow \widehat{NAC}=\widehat{ACB}\)

Do đó: \(\widehat{MAB}+\widehat{BAC}+\widehat{NAC}=\widehat{ABC}+\widehat{BAC}+\widehat{ACB}=180^0\)

(Theo định lý về tổng ba góc trong tam giác)

b) Vì \(\triangle MIA=\triangle CIB\Rightarrow MA=CB\)

\(\triangle NKA=\triangle BKC\Rightarrow NA=BC\)

Do đó \(MA=NA\)

Theo phần a cũng có \(\widehat{MAI}=\widehat{CBI}\) mà hai góc đó nằm ở vị trí so le trong nên \(MA\parallel BC\). Tương tự \(NA\parallel BC\)

Khi đó \(AH\perp BC\Leftrightarrow AH\perp MA, NA\Rightarrow \widehat{MAH}=\widehat{NAH}=90^0\)

Tam giác $MAH$ và $NAH$ có: \(\left\{\begin{matrix} \widehat{MAH}=\widehat{NAH}\\ \text{ AH chung}\\ MA=NA\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \triangle MAH=\triangle NAH(c.g.c)\Rightarrow MH=NH\)

Do đó tam giác $MHN$ cân tại $H$