Chứng minh tam giác MHK vuông cân biết tam giác ABC vuông cân tại A có trung tuyến AM

Xét tam giác $BAH$ và $ACK$ có:

\(\left\{\begin{matrix} \widehat{BHA}=\widehat{AKC}=90^0\\ \widehat{ABH}=\widehat{CAK}=90^0-\widehat{BAH}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \triangle BAH\sim \triangle ACK(g.g)\)

\(\Rightarrow \frac{AH}{CK}=\frac{BA}{AC}=1\) (do tam giác $ABC$ cân tại $A$)

\(\Rightarrow AH=CK\)

Mặt khác từ tam giác đồng dạng trên cũng suy ra \(\widehat{BAH}=\widehat{ACK}(1)\)

Tam giác $BAC$ vuông nên đường trung tuyến đối diện cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền \(\Rightarrow MA=MC\)

Mặt khác, $BAC$ cân tại $A$ nên trung tuyến $AM$ đồng thời là đường cao. Như vậy, tam giác $BAM$ vuông tại $M$ và góc $B=45^0$ nên là tam giác vuông cân

\(\Rightarrow \widehat{BAM}=45^0=\widehat{BCA}(2)\)

Lấy \((1)-(2)\Rightarrow \widehat{MAH}=\widehat{MCK}\)

Xét tam giác $MAH$ và $MCK$ có:

\(\left\{\begin{matrix} \widehat{MAH}=\widehat{MCK}\\ MA=MC\\ AH=CK\end{matrix}\right.\Rightarrow \triangle MAH=\triangle MCK(c.g.c)\)

\(\Rightarrow MH=MK; \widehat{AMH}=\widehat{CMK}\) 

\(\Rightarrow \widehat{AMH}+\widehat{HME}=\widehat{CMK}+\widehat{HME}\)

\(\Leftrightarrow \widehat{AMC}=\widehat{HMK}\Leftrightarrow HMK=90^0\)

Tam giác $HMK$ có góc $M=90^0$ và $MH=MK$ nên là tam giác vuông cân.