Chứng minh tam giác MBH=tam giác MAK biết A=90 độ, AB=AC, M là trung điểm BC

- Không kẻ hình nữa nhé ~
Chứng minh :
a) \(\widehat{ABH}+\widehat{BAH}+\widehat{BHA}=180^o\left(\text{đ/l tổng 3 góc của 1 t/g}\right)\)
Mà \(\widehat{BHA}=90^o\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{ABH}+\widehat{BAH}=180^o-90^o\)
\(\Rightarrow\widehat{ABH}+\widehat{BAH}=90^o\)
Mà \(\widehat{BAH}+\widehat{HAC}=90^o\)
\(\Rightarrow\widehat{ABH}=\widehat{HAC}\)
Xét △BHA vuông tại H và △AKC vuông tại K có:
BA = AC ( gt )
\(\widehat{ABH}=\widehat{HAC}\left(cmt\right)\)
⇒△BHA = △AKC ( ch - gn )
⇒ BH = AK ( tương ứng )
b) Nối A -> M ; K -> M
Xét △BMA và △CMA có:
BA = CA ( gt )
AM - cạnh chung
BM = CM ( gt )
⇒ △BMA = △CMA ( c.c.c )
\(\Rightarrow\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\left(\text{tương ứng}\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{BMA}=\widehat{AMC}\left(\text{tương ứng}\right)\)
Mà \(\widehat{BMA}+\widehat{AMC}=180^o\left(\text{kề bù}\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{BMA}=\widehat{AMC}=90^o\)
Có M là trung điểm của BC
⇒ Tia AM nằm giữa AB và AC
\(\Rightarrow\widehat{BAM}+\widehat{MAC}=\widehat{BAC}\)
\(\Rightarrow\widehat{BAM}+\widehat{MAC}=90^o\)
Mà \(\widehat{BAM}=\widehat{MAC}\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{BAM}=\widehat{MAC}=45^o\)
Có \(\widehat{BAM}+\widehat{AMB}+\widehat{ABM}=180^o\left(\text{đ/l tổng 3 góc của 1 t/g}\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{ABM}=180^o-90^o-45^o\)
\(\Rightarrow\widehat{ABM}=45^o\)
\(\Rightarrow\widehat{BAM}=\widehat{ABM}\left(=45^o\right)\)
⇒ △ABM cân tại M
⇒ MB = MA
Có E nằm giữa M và C
⇒ Tia AE nằm giữa AC và AM
\(\Rightarrow\widehat{CAH}+\widehat{HAM}=\widehat{MAC}=45^o\)
\(\Rightarrow\widehat{HAM}=45^o-\widehat{CAH}\)
Có \(\widehat{ABH}+\widehat{HBE}=45^o\)
\(\Rightarrow\widehat{HBE}=45^o-\widehat{ABH}\)
Mà \(\widehat{CAH}=\widehat{ABH}\left(cmt\right)\Rightarrow\widehat{HAM}=\widehat{HBE}\)
Xét △MBH và △MAK có :
BM = MA ( cmt )
\(\widehat{HAM}=\widehat{HBE}\left(cmt\right)\)
BH = AK ( cmt )
⇒ △MBH = △MAK ( c.g.c )
⇒ MH = MK ( tương ứng ) (1)
\(\Rightarrow\widehat{BMH}=\widehat{AMK}\left(\text{tương ứng}\right)\)
c)
Có\(\widehat{AMB}+\widehat{AMH}=\widehat{BMH}\)
\(\Rightarrow\widehat{AMH}=\widehat{BMH}-90^o\)
Có \(\widehat{AMC}+\widehat{CMK}=\widehat{AMK}\)
\(\Rightarrow\widehat{CMK}=\widehat{AMK}-90^o\)
Mà\(\widehat{BMH}=\widehat{AMK}\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{AMH}=\widehat{CMK}\)
Mà\(\widehat{AMH}+\widehat{HMC}=90^o\)
\(\Rightarrow\widehat{CMK}+\widehat{HMC}=90^o\)
\(\Rightarrow\widehat{HMK}=90^o\)(2)
Từ (1) và (2) ⇒ △HMK vuông cân