Chứng minh tam giác IEF cân biết tam giác ABC cân tại A có AI vuông góc BC

a) Xét \(\Delta ABI,\Delta ACI\) có :

\(AB=AC\) (ΔABC cân tại A)

\(\widehat{AIB}=\widehat{AIC}\left(=90^o\right)\)

\(\widehat{ABI}=\widehat{ACI}\) (ΔABC cân tại A)

=> \(\Delta ABI=\Delta ACI\) (cạnh huyền - góc nhọn)

=> BI = CI (2 cạnh tương ứng)

=> I là trung điểm của BC.

b) Xét \(\Delta AEI,\Delta AFI\) có :

\(AE=AF\left(gt\right)\)

\(\widehat{EAI}=\widehat{FAI}\) (do \(\Delta ABI=\Delta ACI\) - cm câu a)

\(AI:Chung\)

=> \(\Delta AEI=\Delta AFI\left(c.g.c\right)\)

=> \(IE=IF\) (2 cạnh tương ứng)

=> ΔIEF cân tại I.

c) Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\left(\text{(ΔABC cân tại A)}\right)\\AE=AF\left(gt\right)\end{matrix}\right.\)

Lại có : \(\left\{{}\begin{matrix}E\in AB\\F\in AC\end{matrix}\right.\left(gt\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=AE+BE\\AC=AF+FC\end{matrix}\right.\)

Nên : \(AB-AE=AC-AF\)

\(\Leftrightarrow BE=CF\)

Xét \(\Delta EBI,\Delta FCI\) có :

\(BE=CF\left(cmt\right)\)

\(BI=CI\) (I là trung điểm của BC)

\(IE=IF\) (tam giác IEF cân tại I)

=> \(\Delta EBI=\Delta FCI\left(c.c.c\right)\)

=> đpcm.