Chứng minh tam giác HMN cân biết tam giác ABC vuông tại A có K là trung điểm BC

a) Xét \(\Delta ABK\) và \(\Delta CDK\) ta có:

KB = KC (gt) (1)

\(\widehat{ABK}\) = \(\widehat{CDK}\) (2 góc đối đỉnh) (2)

KD = KA (gt) (3)

Từ (1),(2),(3) \(\Rightarrow\) \(\Delta ABC=\Delta CDA\)(C-G-C) (4)

Từ (4) \(\Rightarrow\widehat{ABC}\) = \(\widehat{DCB}\) (2 góc tương ứng)

và đây là cặp góc so le trong

\(\Rightarrow CD\) // AB (5)

b) Ta có: AB \(\perp AC\)

CD // AB (5)

\(\Rightarrow AC\perp CD\)

Từ (4) \(\Rightarrow AB=CD\)( 2 cạnh tương ứng) (6)

Xét hai tam giác vuông ABH và CDH ta có:

AB = CD (6)

HA = HC (gt) (7)

Vậy \(\Delta ABH=\Delta CDH\) (cạnh góc vuông-cạnh góc vuông) (8)

c) Xét hai am giác vuông ABC và CDA ta có:

AB = CD (6)

AC là cạnh góc vuông chung

Vậy \(\Delta ABC=\Delta CDA\) (cạnh góc vuông-cạnh góc vuông) (9)

Từ (8) \(\Rightarrow\) \(\widehat{BCA}\) = \(\widehat{DAC}\) (2 góc tương ứng) (10)

Từ (7) \(\Rightarrow\widehat{BHA}\) = \(\widehat{DHC}\) (2 góc tương ứng) (11)

Xét \(\Delta AMH\) và \(\Delta CNH\) ta có:

\(\widehat{BHA}\) = \(\widehat{DHC}\) (11)

HA = HC (gt) (7)

\(\widehat{BCA}\) = \(\widehat{DAC}\) (10)

Từ (11),(7),(10) \(\Rightarrow\Delta AMH=\Delta CNH\) (G-C-G) (12)

Từ (12) \(\Rightarrow HM=HN\) (2 cạnh tương ứng)

nên \(\Delta HMN\) là tam giác cân