Chứng minh tam giác HMK vuông cân biết tam giác ABC vuông cân tại B có trung tuyến BM

a) Áp dụng định lý Pi-ta-go vào tam giác ABC vuông tại B, ta có:

AB² + BC² = AC²

Mà: △ABC cân tại B nên AB = BC hay AB² = BC²

=> 2AB² = AC²

Mà: AC = 8

=> 2AB² = 8²

=> AB = \(\sqrt{32}\)(cm)

b) Xét △ABH và △BCK có:

\(\widehat{AHB}=\widehat{BKC}\left(=90^o\right)\)

AB = BC (△ABC cân tại B)

\(\widehat{BAH}=\widehat{KBC}\) (cùng phụ với \(\widehat{ABH}\))

=> △ABH = △BCK(Cạnh huyền - Góc nhọn)

=> BH = CK(cặp cạnh tương ứng)

c) Ta có: \(\widehat{BDM}=\widehat{CDK}\) (đối đỉnh)

Mà: \(\widehat{BDM}+\widehat{MBH}=90^o\) và \(\widehat{KCM}+\widehat{CDK}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{MBH}=\widehat{KCM}\)

Mặt khác: △ABC vuông cân tại B, có BM là trung tuyến ứng với cạnh huyền AC nên BM = MC = \(\dfrac{1}{2}\)AC

Xét △BHM và △CKM có:

\(\widehat{MBH}=\widehat{KCM}\) (chứng minh trên)

BM = MC (chứng minh trên)

BH = CK(theo câu b)

=> △BHM =△CKM(c.g.c)

=> HM = MK (2 cạnh tương ứng)

=> △HMK cân tại M (1)

Ta lại có: △BHM = △CKM nên \(\widehat{HMB}=\widehat{CMK}\) (2 góc tương ứng)

=> \(\widehat{HMB}+\widehat{HMC}=\widehat{CMK}+\widehat{HMC}\)

=>\(\widehat{HMK}=\widehat{BMC}=90^o\) (2) (\(\widehat{BMC}=90^o\)là do ABC là tam giác cân tại B nên BM vừa là trung tuyến vừa là đường cao)

Từ (1) và (2) => △HMK vuông cân tại M