Chứng minh tam giác HDE cân biết trên BA lấy điểm D , CA lấy điểm E sao cho BD=CE

a) Xét \(\Delta ABH,\Delta ACH\) có :

\(\widehat{ABH}=\widehat{ACH}\) (ΔABC cân tại A)

AB = AC (ΔABC cân tại A)

\(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\left(=90^o\right)\)

=> \(\Delta ABH=\Delta ACH\) (cạnh huyền - góc nhọn)

b) Xét \(\Delta DBH,\Delta ECH\) có :

\(BD=CE\left(gt\right)\)

\(\widehat{DBH}=\widehat{ECH}\) (ΔABC cân tại A)

\(BH=HC\) (\(\Delta ABH=\Delta ACH\))

=> \(\Delta DBH=\Delta ECH\left(c.g.c\right)\)

=> \(HD=HE\) (2 cạnh tương ứng)

=> ΔHDE cân tại H

c) Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\text{(ΔABC cân tại A)}\\BD=CE\left(gt\right)\end{matrix}\right.\)

Lại có : \(\left\{{}\begin{matrix}D\in AB\left(gt\right)\\E\in AC\left(gt\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=AD+BD\\AC=AE+EC\end{matrix}\right.\)

Suy ra : \(AB-BD=AE-EC\)

\(\Leftrightarrow AD=AE\)

Có : \(AH\cap DE=\left\{I\right\}\)

Xét \(\Delta AID,\Delta AIE\) có :

\(AD=AE\left(cmt\right)\)

\(\widehat{DAI}=\widehat{EAI}\) (do \(\Delta ABH=\Delta ACH\)- cm câu a)

\(AI:Chung\)

=>\(\Delta AID=\Delta AIE\left(c.g.c\right)\)

=> \(\widehat{DAI}=\widehat{EAI}\) (2 góc tương ứng )

Mà : \(\widehat{DAI}+\widehat{EAI}=180^o\left(Kềbù\right)\)

Nên : \(\widehat{DAI}=\widehat{EAI}=\dfrac{180^o}{2}=90^o\)

=> \(AI\perp DE\)

Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}AI\perp DE\\DI=EI\left(\Delta AID=\Delta AIE\right)\end{matrix}\right.\)

Do đó, AH là đường trung trực của DE