Chứng minh tam giác BID=tam giác CIA biết ABC vuông tại A, I là trung điểm BC

Hình vẽ:

Giải:

a) Xét tam giác BID và tam giác CIA, có:

\(BI=IC\left(gt\right)\)

\(ID=IA\left(gt\right)\)

\(\widehat{BID}=\widehat{CIA}\) (Hai góc đối đỉnh)

\(\Leftrightarrow\Delta BID=\Delta CIA\left(c.g.c\right)\)

b) Ta có: \(\Delta BID=\Delta CIA\) (Câu a)

\(\Leftrightarrow\widehat{IBD}=\widehat{ICA}\) (Hai góc tương ứng)

\(\Leftrightarrow BD//AC\) (Vì có hai góc so le trong bằng nhau)

Lại có: \(BD//AC\) (Chứng minh trên)

Mà \(AC\perp AB\) (Tam giác ABC vuông tại A)

\(\Leftrightarrow BD\perp AB\)

c) Ta có \(BD\perp AB\) (Chứng minh trên)

\(\Leftrightarrow\widehat{ABD}=90^0\)

\(\Leftrightarrow\widehat{ABM}=90^0\left(=180^0-\widehat{ABD}\right)\)

Lại có: \(AM//BC\left(gt\right)\)

\(\Leftrightarrow\widehat{ABC}=\widehat{BAM}\) (Hai góc so le trong)

Xét tam giác BAC và tam giác ABM, ta có:

\(\widehat{BAC}=\widehat{ABM}\left(=90^0\right)\)

AB là cạnh chung

\(\widehat{ABC}=\widehat{BAM}\) (Chứng minh trên)

\(\Leftrightarrow\Delta BAC=\Delta ABM\) (Cạnh góc vuông_Góc nhọn kề)

\(\Leftrightarrow MB=AC\) (Hai cạnh tương ứng) (1)

Mặt khác: \(BD=AC\left(\Delta BID=\Delta CIA\right)\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow MB=BD\)

\(\Rightarrow\) B là trung điểm của MD.

Chúc bạn học tốt!