Chứng minh tam giác BIC cân biết tam giác ABC cân tại A và AD=AE

a) Xét \(\Delta ADE\) có :

AD = AE (gt)

=> \(\Delta ADE\) cân tại A

Ta có: \(\widehat{ADE}=\widehat{AED}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{A}}{2}\left(1\right)\)

Xét \(\Delta ABC\) cân tại A(gt) có :

\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{A}}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{ADE}=\widehat{ABC}\left(=\dfrac{180^{^O}-\widehat{A}}{2}\right)\)

Mà thấy : 2 góc này ở vị trí đồng vị

=> DE // BC (đpcm)

b) Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\left(\Delta ABCcân\right)\\AD=AE\left(gt\right)\end{matrix}\right.\)

Lại có : \(\left\{{}\begin{matrix}AB=AD+BD\\AC=AE+EC\end{matrix}\right.\)

Suy ra : BD = EC

Xét \(\Delta DBC;\Delta EBC\) có :

\(BD=CE\left(cmt\right)\)

\(\widehat{DBC}=\widehat{ECB}\) (tam giác ABC cân tại A)

BC: Chung

=> \(\Delta DBC=\Delta EBC\left(c.g.c\right)\)

=> \(\widehat{DCB}=\widehat{EBC}\) (2 góc tương ứng)

Xét \(\Delta BIC\) có :

\(\widehat{IBC}=\widehat{ICB}\) (do \(\widehat{DCB}=\widehat{EBC}\))

=> \(\Delta BIC\) cân tại I (đpcm)

c) Ta dễ dàng chứng minh được : \(\Delta ADI=\Delta AEI\left(c.g.c\right)\)

Từ đó có : \(\widehat{DAI}=\widehat{EAI}\) (2 góc tương ứng)

Suy ra : AI là tia phân giác của \(\widehat{DAE}\)

Mặt khác : Tam giác DAE là tam giác cân

=> AI đồng thời là đường trung trực trong \(\Delta DAE\)

Do đó : \(AI\perp DE\left(đpcm\right)\)