Chứng minh tam giác AMN đều biết M và N lần lượt là trung điểm của CD và BE

Ta có hình vẽ:

a/ Ta có: tam giác ABD là tam giác đều

=> góc DAB = 60⁰

Ta có: tam giác ACE là tam giác đều

=> góc EAC = 60⁰

=> góc DAB = góc EAC

=> góc DAB + góc BAC = góc EAC + góc BAC

hay góc DAC = góc BAE

Xét tam giác ADC và tam giác ABE có:

AD = AB (tam giác ABD đều)

góc DAC = góc BAE (cmt)

AE = AC (tam giác ACE đều)

=> tam giác ADC = tam giác ABE (c.g.c)

b/ Ta có: M là trung điểm của DC

=> AM là trung tuyến của tam giác ADC

Ta lại có: N là trung điểm của BE

=> AN là trung tuyến của tam giác ABE

Mà tam giác ADC = tam giác ABE (ý a)

=> AM = AN (đều là trung tuyến của hai tam giác bằng nhau)

=> tam giác AMN cân.

Ta có: góc DAC = góc BAE (cmt)

Ta có: góc BAE = góc BAM + góc MAN + góc NAE

=> góc MAN = góc BAE - (góc BAM + góc NAE) (1)

Ta lại có: góc DAC = góc DAB + góc BAM + góc MAC

hay góc DAC = 60⁰ + góc BAM + góc MAC

=> góc MAN = DAC - (60⁰ + góc BAM + góc MAC) (2)

Thế (1) vào (2) ta có:

góc MAN = 60⁰ + BAM + MAC - BAM - NAE

hay góc MAN = 60⁰ + (MAC - NAE)

Xét tam giác AMC và tam giác ANE có:

AM = AN (cmt)

AE = AC (tam giác ACE đều)

MC = NE (vì DC = BE mà M,N lần lượt là trung điểm của DC,BE)

=> tam giác AMC = tam giác ANE (c.c.c)

=> góc MAC = góc NAE (2 góc tương ứng)

Trở lại biểu thức, ta có:

góc MAN = 60⁰ + (góc MAC - góc NAE)

Mà MAC = NAE => góc MAC - góc NAE = 0⁰

=> góc MAN = 60⁰

Ta có: tam giác AMN cân

Mà góc MAN = 60⁰

=> tam giác AMN đều

-> Ta có: đpcm.