Chứng minh tam giác AMN cân và MN//BC biết tam giác ABC cân tại A

a) Ta có : \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (Tam giác ABC cân tại A)

Lại có : \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ABM}=\widehat{BMC}\\\widehat{ACN}=\widehat{NCB}\end{matrix}\right.\)

Suy ra : \(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\)

Xét \(\Delta AMB,\Delta ANC\) có:

\(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\left(cmt\right)\)

\(AB=AC\) (tam giác ABC cân tại A)

\(\widehat{A}:chung\)

=> \(\Delta AMB=\Delta ANC\left(g.c.g\right)\)

=> \(AN=AM\) (2 cạnh tương ứng)

Do đó, \(\Delta AMN\) cân tại A (đpcm)

Ta có : \(\widehat{AMN}=\widehat{ANM}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{A}}{2}\left(1\right)\)

Xét tam giác cân ABC có :

\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{A}}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{ANM}=\widehat{ABC}\left(=\dfrac{180^o-\widehat{A}}{2}\right)\)

Mà thấy : 2 góc này ở vị trí đồng vị

Do đó: \(MN//BC\left(đpcm\right)\)

b) Ta có ; \(\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\left(\Delta ABCcân\right)\\AN=AM\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)

lại có : \(\left\{{}\begin{matrix}BN=AB-AN\left(N\in AB\right)\\MC=AC=AM\left(M\in\right)AC\end{matrix}\right.\)

Suy ra : \(BN=MC\)

Xét \(\Delta NBC,\Delta MBC\) có :

\(BC:Chung\)

\(\widehat{NBC}=\widehat{MCB}\) (tam giác ABC cân tại A)

\(NB=MC\left(cmt\right)\)

=> \(\Delta NBC=\Delta MBC\left(c.g.c\right)\)

=> \(\widehat{MBC}=\widehat{NCB}\) (2 góc tương ứng)

=> \(\Delta EBC\) cân tại E

Mà thấy : I là trung điểm của BC

=> EI là trung tuyến trong tam giác EBC

=> E,I thẳng hàng (1)

Ta chứng minh \(\Delta ANE=\Delta AME\)

=> AE là tia phân giác của\(\widehat{A}\)

=> A, E thẳng hàng (2)

Từ (1) và (2) => A,I,E thẳng hàng (đpcm)