Chứng minh tam giác AMN cân biết tam giác ABC cân tại A có AB < BC

a/ Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta ACN\) có:

\(AB=AC\) ( hai cạnh bên của tam giác cân ABC )

\(\widehat{B}=\widehat{C}\) ( hai góc đáy của tam giác cân ABC )

\(BM=CN\left(gt\right)\)

Do đó \(\Delta ABM=\Delta ACN\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow AM=AN\) ( cạnh tương ứng ) hay \(\Delta AMN\) cân tại A

b/ Theo định lí tổng 3 góc của 1 tam giác, ta có:

\(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{BAC}=180^0\)

\(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^0-120^0=60^0\)

Mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) ( hai góc đáy của tam giác cân ABC ) \(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\dfrac{60^0}{2}=30^0\)

Vì \(BM=AB\left(gt\right)\Rightarrow\Delta ABM\) cân tại B

\(\Rightarrow\widehat{BAM}=\widehat{BMA}\) ( hai góc đáy )

Theo tổng 3 góc của 1 tam giác, ta có:

\(\widehat{BAM}+\widehat{BMA}+\widehat{ABC}=180^0\)

\(\widehat{BAM}+\widehat{BMA}=180^0-30^0=150^0\)

Vì \(\widehat{BAM}=\widehat{BMA}\left(cmt\right)\Rightarrow\widehat{BAM}=\widehat{BMA}=\dfrac{150^0}{2}=75^0\) hay \(\widehat{AMN}=75^0\)

\(\Delta AMN\) cân tại A ( cmt ) \(\Rightarrow\widehat{ANM}=\widehat{AMN}=75^0\)

Theo định lí tổng 3 góc của 1 tam giác, ta có:

\(\widehat{NAM}+\widehat{ANM}+\widehat{AMN}=180^0\)

\(\widehat{NAM}=180^0-\left(75^0+75^0\right)\)

\(\widehat{NAM}=30^0\)

c/ Tam giác AMN ko thể là tam giác vuông cân vì \(\widehat{NAM},\widehat{AMN},\widehat{ANM}\ne90^0\)