Chứng minh tam giác AME cân biết tam giác ABC đều và B là trung điểm của CM

3. Cho tam giác ABC đều, vẽ các điểm M và E sao cho B là trung điểm của CM, C là trung điểm của BE

a) C/m: tam giác AME cân

b) Tính các góc của tam giác AME

a) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ABM}+\widehat{ABC}=180^o\left(kebu\right)\\\widehat{ACE}+\widehat{ACB}=180^o\left(kebu\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ABM}=180^o-\widehat{ABC}\\\widehat{ACE}=180^o-\widehat{ACB}\end{matrix}\right.\)

Mặt khác \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) ( \(\Delta ABC\) là \(\Delta\) đều )

\(\Rightarrow\widehat{ABM}=\widehat{ACE}\)

Ta có: \(AB=BC\) ( ABC là tam giác đều )

\(MB=BC\) ( B là trung điểm BC )

\(BC=CE\) ( C là trung điểm CE )

\(\Rightarrow MB=CE=AB\)

Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta ACE\) có:

\(\widehat{ABM}=\widehat{ACE}\left(cmt\right)\)

\(MB=CE\left(cmt\right)\)

\(AB=AC\) ( ABC là tam giác đều )

\(\Rightarrow\Delta ABM=\Delta ACE\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow AM=AE\) ( 2 cạnh tương ứng )

\(\Rightarrow\Delta AME\) là tam giác cân tại A

b) \(\Delta ABM\) có \(AB=MB\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta ABM\) cân tại B

\(\Rightarrow\widehat{BAM}=\widehat{BMA}\) ( tinh chất tam giác cân )

\(\Delta ABC\) đều \(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{BCA}=\widehat{CAB}=60^o\)

Có: \(\widehat{ABM}+\widehat{ABC}=180^o\left(kebu\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{ABM}=180^o-\widehat{ABC}=180^o-60^o=120^o\)

\(\Delta ABM\) có: \(\widehat{MAB}+\widehat{AMB}+\widehat{ABM}=180^o\) ( tổng ba góc tam giác )

\(\Rightarrow\widehat{MAB}+\widehat{AMB}=180^o-\widehat{ABM}=180^o-120^o=60^o\)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{MAB}=\widehat{AMB}\\\widehat{MAB}+\widehat{AMB}=60^o\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\widehat{MAB}=\widehat{AMB}=\dfrac{60^o}{2}=30^o\)

Vì \(\Delta ABM=\Delta ACE\)

\(\Rightarrow\widehat{MAB}=\widehat{AMB}=\widehat{EAC}=\widehat{AEC}=30^o\)

\(\Delta AME\) có: \(\widehat{AME}+\widehat{MAE}+\widehat{AEM}=180^o\) ( tổng ba góc tam giác )

\(\Rightarrow\widehat{MAE}=180^o-\widehat{AME}-\widehat{AEM}=180^o-30^o-30^o=120^o\)