Chứng minh tam giác AHK cân biết tam giác ABC cân tại A, trên tia đối của tia BA lấy điểm D

a) Chứng minh: \(BH=CK\)

Ta có: \(\Delta ABC\) cân tại \(A\)

\(\Rightarrow AB=AC\) (2 cạnh bên của \(\Delta\) cân)

và \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (2 góc kề cạnh bên của \(\Delta\) cân)

Ta có : \(\widehat{ABC}=\widehat{HBD}\) ( 2 góc đối đỉnh )

\(\widehat{ACB}=\widehat{KCE}\) ( 2 góc đối đỉnh )

\(\Rightarrow\widehat{HBD}=\widehat{KCE}\)

Xét \(\Delta\) vuông \(HDB\) và \(\Delta\) vuông \(KEC\) có:

\(BD=CE\left(gt\right)\)

\(\widehat{HBD}=\widehat{KCE}\left(cmt\right)\)

\(\left(\widehat{BHD}=\widehat{CKE}=90^0\right)\)

\(\Rightarrow\Delta HDB=\Delta KEC\) (Th đặc biệt: \(ch-gn\))

\(\Rightarrow BH=CK\) (2 cạnh tương ứng)

b) Chứng minh : \(\Delta AHK\) cân

Ta có: \(\Delta HDB=\Delta KEC\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow HD=KE\) (2 cạnh tương ứng)

\(\Rightarrow\widehat{HDB}=\widehat{KEC}\) (2 góc tương ứng )

Ta có: \(AB+BD=AD\)( vì B nằm giữa A và D)

\(AC+CE=AE\) ( vì C nằm giữa A và E)

Mà: \(AB=AC\left(cmt\right)\)

\(BD=CE\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow AD=AE\)

Xét \(\Delta AHD\) và \(\Delta AKE\) có

\(HD=KE\left(cmt\right)\)

\(AD=AE\left(cmt\right)\)

\(\widehat{HDA}=\widehat{KEA}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta AHD=\Delta AKE\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow AH=AK\) (2 cạnh tương ứng)

\(\Rightarrow\Delta AHK\) cân tại \(A\)