Chứng minh tam giác AEN cân biết tam giác ABC có AB=AC, tia phân giác góc A cắt BC tại M

Hình vẽ:

~~~~

a/ Xét tam giác ABM và ACM có:

AB = AC(gt)

\(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\left(gt\right)\)

AM: chung

=> tg ABM = tg ACM (cgc)

=> \(\widehat{BMA}=\widehat{CMA}\) mà \(\widehat{BMA}+\widehat{CMA}=180^o\) (kề bù)

=> \(\widehat{BMA}=\widehat{CMA}=\dfrac{180^o}{2}=90^o\)

=> AM _|_ BC (đpcm)

b/ Xét 2 tg vuông: AMN và AME có:

AM: chung

\(\widehat{NAM}=\widehat{EAM}\) (gt)

=> tg AMN = tg AME(ch-gn)

=> MN = ME => tg MEN cân tại M (đpcm)

c/ xét tg ABE và tg ACN có:

AB = AC (gt)

\(\widehat{BAC}:chung\)

AE = AN (tg AME = tg AMN)

=> tg ABE = tg ACN (cgc)

=> \(\widehat{ABE}=\widehat{ACN}\) mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)

=> \(\widehat{EBC}=\widehat{NCB}\) => tg IBC cân tại I => IB = IC

Xét tg AIB và AIC có:

AI: chung

AB = AC (gt)

IB = IC (cmt)

=> tg AIB = tg AIC (ccc) => \(\widehat{IAB}=\widehat{IAC}\) mà I nằm trong tg ABC => AI là tia p/g của goác BAC

mặt khác: AM cx là tia p/g của góc BAC (gt)

=> AI trùng AM => A, I, M thẳng hàng (đpcm)

d/ Có: AE = AN (đã cm) => tg AEN cân tại A (đpcm)