Chứng minh tam giác AEB cân biết tam giác ABC có góc B=45°, góc C=120°

Hình vẽ:

a/ Kẻ trung tuyến EK (\(K\in CD\))

Ta có: CB = CK( = 1/2CD) (1)

Vì \(\Delta ECK\) vuông tại E (gt)

=> EK = CK (đl: trong 1 tg vuông đường trung tuyến = nửa cạnh huyền) (*)

mà: \(\widehat{C_2}=180^o-\widehat{C_1}=180^o-120^o=60^o\left(kềbù\right)\) (**)

Từ (*), (**) => \(\Delta ECK\) đều

=> CE = CK (2)

Từ (1) và (2) => CE = CB (đpcm)

b/ Vì: CE = CB (ý a) => \(\Delta BCE\) cân tại C

=> \(\widehat{CBE}=\widehat{CEB}=\dfrac{180^o-\widehat{C_1}}{2}=\dfrac{180^o-120^o}{2}=30^o\)

Có: \(\widehat{ABE}+\widehat{CBE}=\widehat{ABC}\) (2 góc kề nhau)

hay \(\widehat{ABE}+30^o=45^o\Rightarrow\widehat{ABE}=45^o-30^o=15^o\)

Vì: \(\widehat{EAB}=\widehat{ABE}\left(=15^o\right)\Rightarrow\Delta AEB\) cân tại E (đpcm)

c/ Trong \(\Delta ECD\) có: \(\widehat{ECD}+\widehat{CED}+\widehat{EDC}=180^o\) (tổng 3 g troq 1 tg)

hay \(60^o+90^o+\widehat{EDC}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{EDC}=180^o-90^o-60^o=30^o=\widehat{CBE}\)

=> \(\Delta BED\) cân tại E => EB = ED

mà EA = EB (\(\Delta AEB\)cân)

=> EA = ED. lại có: \(\widehat{E}=90^o\left(gt\right)\)

=> \(\Delta AED\) là \(\Delta\) vuông cân tại E

d/ Vì \(\Delta AED\) vuông cân tại E => \(\widehat{EAD}=\widehat{EDA}=45^o\)

Ta có: \(\widehat{ADB}=\widehat{ADE}+\widehat{EDC}\) (2 góc kề nhau)

hay \(\widehat{ADB}=45^o+30^o=75^o\)

Vậy \(\widehat{ADB}=75^o\)