Chứng minh tam giác ADE cân biết tam giác ABC cân tại A, trên tia đối của tia BC lấy điểm D

a) Ta có: \(\widehat{B_1}+\widehat{B_2}=180^o\) (kề bù)

\(\widehat{C_1}+\widehat{C_2}=180^o\) (kề bù)

Mà \(\widehat{B_1}=\widehat{C_1}\) (do \(\Delta ABC\) cân tại A)

Suy ra: \(\widehat{B_2}=\widehat{C_2}\)

Xét hai tam giác ABD và ACE có:

AB = AC (gt)

\(\widehat{B_2}=\widehat{C_2}\) (cmt)

BD = CE (gt)

Vậy: \(\Delta ABD=\Delta ACE\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{ADB}=\widehat{AEC}\) (hai góc tương ứng)

\(\Rightarrow\) \(\Delta ADE\) cân tại A

b) Xét hai tam giác vuông BHD và CKE có:

BD = CE (gt)

\(\widehat{ADB}=\widehat{AEC}\) (cmt)

Vậy: \(\Delta BHD=\Delta CKE\left(ch-gn\right)\)

Suy ra: BH = CK (hai cạnh tương ứng)

Xét hai tam giác vuông ABH và ACK có:

AB = AC (gt)

BH = CK (cmt)

Vậy: \(\Delta ABH=\Delta ACK\left(ch-cgv\right)\)

Suy ra: AH = AK (hai cạnh tương ứng)

c) Ta có: \(\widehat{DBH}=\widehat{CBI}\) (đối đỉnh)

\(\widehat{ECK}=\widehat{BCI}\) (đối đỉnh)

Mà \(\widehat{DBH}=\widehat{ECK}\) (do \(\Delta BHD=\Delta CKE\))

\(\Rightarrow\) \(\widehat{CBI}=\widehat{BCI}\)

\(\Rightarrow\) \(\Delta IBC\) cân tại I

d) Xét hai tam giác ABI và ACI có:

AB = AC (gt)

IB = IC (do \(\Delta IBC\) cân tại I)

AI: cạnh chung

Vậy: \(\Delta ABI=\Delta ACI\left(c-c-c\right)\)

Suy ra: \(\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\) (hai góc tương ứng)

Do đó: AI là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\) (đpcm).