Chứng minh tam giác ACQ cân biết tam giác ABC vuông tại A có AH cắt CM tại Q

Giải:

a, AH là trung trực BC

\(\Rightarrow AB=AD\) ( t/c 1 điểm thuộc trung trực )

\(\Rightarrow\Delta ABD\) cân tại A

\(\widehat{B}+\widehat{C}=90^o\Rightarrow\widehat{B}=60^o\)

\(\Delta ABD\) cân tại A có \(\widehat{B}=60^o\Rightarrow\Delta ABD\) đều

b, Do \(\Delta ABD\) cân tại A

\(\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{ADB}\)

\(\Rightarrow\widehat{HDA}=\widehat{MDC}\)

\(\Rightarrow90^o-\widehat{HDA}=90^o-\widehat{MDC}\)

\(\Rightarrow\widehat{HAD}=\widehat{MCD}\)

t/g ABD cân tại A có AH là trung trực => AH cũng là phân giác

\(\Rightarrow\widehat{HAD}=\widehat{BAH}\)

\(\Rightarrow\widehat{BAH}=\widehat{MCD}\)

\(\widehat{HAC}+\widehat{BCA}=90^o\)

\(\widehat{HAC}+\widehat{BAH}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{BCA}=\widehat{BAH}\)

\(\Rightarrow\widehat{BCA}=\widehat{HCD}\)

\(\Rightarrow CB\) là p/g của \(\widehat{ACM}\)

c, \(\Delta HAD=\Delta MCD\left(g-c-g\right)\)

\(\Rightarrow DA=DC\)

\(\Rightarrow\Delta ADC\) cân tại D

\(\Rightarrow\widehat{DAC}=\widehat{DCA}\)

\(\Rightarrow\Delta HCA=\Delta MAC\) ( c.huyền - g.nhọn )

\(\Rightarrow HC=AM\)

\(\Rightarrow\Delta ACQ\) cân tại A do 2 đường cao HC = AM

d, t/g ACQ có AM, CH là đường cao

=> D là trực tâm

=> \(QA\perp AC\left(đpcm\right)\)

Vậy...