Chứng minh tam giác ABM=tam giác ACN biết ABC cân tại A và BM=CN

a) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ABM}+\widehat{ABC}=180^{^O}\\\widehat{ACN}+\widehat{ACB}=180^{^O}\end{matrix}\right.\left(Kềbù\right)\)

Lại có : \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\text{ (ΔABC cân tại A)}\)

Suy ra : \(180^{^O}-\widehat{ABC}=180^{^O}-\widehat{ACB}\)

\(\Leftrightarrow\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\)

Xét \(\Delta ABM,\Delta ACN\) có:

\(AB=AC\) (ΔABC cân tại A)

\(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\) (cmt)

\(BM=CN\left(gt\right)\)

=> \(\Delta ABM=\Delta ACN\left(c.g.c\right)\)

b) Xét \(\Delta AHB,\Delta AKC\) có:

\(\widehat{AHB}=\widehat{AKC}\left(=90^{^O}\right)\)

\(AB=AC\) (ΔABC cân tại A)

\(\widehat{BAH}=\widehat{CAK}\) [do \(\Delta ABM=\Delta ACN\left(cmt\right)\)]

=> \(\Delta AHB=\Delta AKC\) (cạnh huyền - góc nhọn)

=> AH = AK (2 cạnh tương ứng)

c) Xét \(\Delta HMB,\Delta KNC\) có:

\(\widehat{MHB}=\widehat{NKC}\left(=90^{^O}\right)\)

BM = CN (gt)

\(\widehat{HMB}=\widehat{KNC}\) [do \(\Delta ABM=\Delta ACN\left(cmt\right)\)]

=> \(\Delta HMB=\Delta KNC\) (cạnh huyền -góc nhọn)

=> \(\widehat{HBM}=\widehat{KCN}\) (2 góc tương ứng) (1)

Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{HBM}=\widehat{OBC}\\\widehat{KCN}=\widehat{OCB}\end{matrix}\right.\) (đối đỉnh) (2)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{OBC}=\widehat{OCB}\)

Do đó: ΔOBC cân tại O (đpcm).