Chứng minh tam giác ABK cân tại B biết tam giác ABC vuông tại A có đường phân giác BD

a) Xét \(\Delta AEB\) và \(\Delta KEB\) có:

\(\widehat{ABD}=\widehat{KBE}\) (BD là tia phân giác \(\widehat{B}\) )

BE ( chung )

\(\widehat{AEB}=\widehat{KEB}\left(=90^0\right)\)

Do đó: \(\Delta AEB=\Delta KEB \left(g-c-g\right)\)

=> BA = BK (hai cạnh tương ứng)

=> \(\Delta ABK\) cân tại B

b) Xét \(\Delta BAD\) và \(\Delta BKD\) có:

BA = BK (cmt)

\(\widehat{ABD}=\widehat{KBD}\) (BD là tia phân giác \(\widehat{B}\))

BD (chung)

Do đó: \(\Delta BAD=\Delta BKD\left(c-g-c\right)\)

=> \(\widehat{BKD}=\widehat{BAD}\) (hai góc tương ứng) \(=90^0\)

=> DK \(\perp\) BC

c) Ta có: \(\widehat{BAE}+\widehat{EAD}=\widehat{BAD}\)

=> \(\widehat{EAD}=\widehat{BAD}-\widehat{BAE}\)

\(\widehat{BKE}+\widehat{KED}=\widehat{BKD}\)

=> \(\widehat{KED}=\widehat{BKD}-\widehat{BKE}\)

mà \(\widehat{BAE}=\widehat{BKE}\) và \(\widehat{BAD}=\widehat{BKD}\)

=> \(\widehat{EAD}=\widehat{KED}\) \(\left(1\right)\)

Vì \(\widehat{BHA}=\widehat{CKD}=90^0\)

=> AH // DK ( đồng vị )

=> \(\widehat{HAK}=\widehat{AKD}\) ( so le trong )

hay \(\widehat{HAK}=\widehat{EKD}\) \(\left(2\right)\)

\(\left(1\right);\left(2\right)\)=> \(\widehat{HAK}=\widehat{EAD}\)

=> AK là tia phân giác \(\widehat{HAC}\)

d) Xét \(\Delta BAI\) và \(\Delta BKI\) có:

\(\widehat{ABI}=\widehat{BKI}\) (BD là tia phân giác \(\widehat{B}\) )

BI (chung)

BA = BK (cmt)

Do đó: \(\Delta BAI=\Delta BKI\left(c-g-c\right)\)

=> \(\widehat{BAI}=\widehat{BKI}\) (hai góc tương ứng)

mà \(\widehat{BAE}=\widehat{BKE}\)

Do đó: \(\widehat{IAE}=\widehat{IKE}\)

mà \(\widehat{IAE}=\widehat{KAD}\)

=> \(\widehat{IKE}=\widehat{KAD}\)

=> IK // AC (sole trong)