Chứng minh tam giác ABK cân tại A biết tam giác ABC vuông tại A có phân giác BD

a) Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta KBE\) có :

\(\widehat{ABE}=\widehat{KBE}\) ( BD là đường phân giác )

BE : cạnh chung

\(\widehat{AEB}=\widehat{KEB}\left(=90^o\right)\)

do đó \(\Delta ABE=\Delta KBE\left(cgv-gn\right)\)

\(\Rightarrow BA=BK\) ( 2 cạnh tương ứng )

hay \(\Delta ABK\) cân tại B ( dhnb \(\Delta\) cân )

b) Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta KBD\) có :

\(\widehat{ABD}=\widehat{KBD}\) ( BD là tia phân giác )

BD : cạnh chung

BA = BK ( c/m trên )

do đó \(\Delta ABD=\Delta KBD\left(ch-gn\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{BAD}=\widehat{BKD}\)

mà \(\widehat{BAD}=90^o\Rightarrow\widehat{BKD}=90^o\) (1)

lại có \(\widehat{BKD}+\widehat{CKD}=180^o\) ( 2 góc kề bù )

nên \(\widehat{CKD}=90^o\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(DK\perp BC\)

c) Có AD = DK ( 2 cạnh tương ứng của \(\Delta ABD=\Delta KBD\) )

suy ra \(\Delta ADK\) cân tại D ( dhnb \(\Delta\) cân )

\(\Rightarrow\widehat{KAD}=\widehat{AKD}\) ( t/c \(\Delta\) cân ) (3)

Có \(AH\perp BC\left(gt\right)\)

\(DK\perp BC\) ( c/m trên )

suy ra AH // DK ( dhnb 2 đường thẳng // )

\(\Rightarrow\widehat{HAK}=\widehat{AKD}\) ( 2 góc so le trong ) (4)

Từ (3) và (4) \(\Rightarrow\) \(\widehat{HAK}=\widehat{DAK}\)

mà AK là tia nằm giữa 2 tia AH và AC

nên AK là tia phân giác của góc \(\widehat{HAC}\)

d) Có AH cắt BD tại I (gt)

\(\Rightarrow\) I thuộc BD
suy ra I thuộc trung trực của AK
nên IA = IK (t/c của 1 điểm nằm trên đường trung trực )
hay \(\Delta\) IAK cân tại I (dhnb \(\Delta\) cân )
\(\Rightarrow\) \(\widehat{IAK}\) = \(\widehat{IKA}\)
mà \(\widehat{IAK}=\widehat{KAD}\) (cmt)
\(\Rightarrow\widehat{IKA}=\widehat{KAD}\)
mà 2 góc này nằm ở vị trí so le trong
\(\Rightarrow\) IK // AC (dhnb 2 đường thẳng //)