Chứng minh tam giác ABC cân biết M là trung điểm của BC, tia phân giác AM của góc A

a)Xét \(\Delta ABC\) có:

M là trung điểm => AM là đường trung tuyến (t/c)

AM là phân giác =>AM là đường phân giác (t/c)

Suy ra \(\Delta ABC\) cân tại A (t/c tam giác cân)

b)\(\Delta ABC\) có G là trọng tâm

\(\Rightarrow AM=\dfrac{3}{2}GA\) (t/c)

\(\Rightarrow AM=\dfrac{3}{2}GA=\dfrac{3}{2}\cdot4=6\)(cm) (GA=4 cm (gt))

\(\Delta ABC\) cân :

AM là đường trung tuyến hạ từ đỉnh A (cmt)

=>AM cùng là đường cao (t/c tam giác cân)

Và \(BM=CM=\dfrac{BC}{2}=3\) (cm) (BC=6 cm (gt))

\(\Delta ABM\) có: \(AB^2=BM^2+AM^2\) (Định lý Py-ta-go)

\(\Rightarrow AB^2=3^2+6^2=9+36=45\) (cm) (BM=3 cm; AM=6 cm(cmt))

\(\Rightarrow AB^2=45\Rightarrow AB=\sqrt{45}\)

c)Gọi giao điểm của CH và AB là T

\(\Delta ABM\) cân tại A (cmt) suy ra \(AB=AC\) (đ/n)

AM là đường phân giác (cmt) suy ra \(\widehat{BAH}=\widehat{CAH}\)

\(\Delta BAH;\Delta CAH\) có:

\(AB=AC\left(cmt\right)\)

\(\widehat{BAH}=\widehat{CAH}\left(cmt\right)\)

\(AH\) chung

\(\Rightarrow\Delta BAH=\Delta CAH\left(c.g.c\right)\)

Suy ra \(\widehat{ABH}=\widehat{ACH}\) ( 2 góc tương ứng)

Tức là \(\widehat{ABK}=\widehat{ACT}\)

\(\Delta ABK;\Delta ATC\) có:

\(\widehat{BAC}\) chung

\(AB=AC\left(cmt\right)\)

\(\widehat{ABK}=\widehat{ATC}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta ABK=\Delta ACT\left(g.c.g\right)\)

Suy ra \(\widehat{AKB}=\widehat{ATC}\) (2 góc tương ứng)

Mà \(\widehat{AKB}=90^o\) (BK vuông góc AC (gt))

\(\Rightarrow ATC=90^o\) suy ra CT vuông góc AB tức là CH vuông góc AB