Chứng minh OM là đường trung trực của AB biết MA vuông góc với Ox, MB vuông góc với Oy

a) Xét tam giác OMA và tam giác OMB , có :

OM : chung

góc O₁ = góc O₂ ( gt )

góc OAM = góc OBM ( = 90^o )

=> tam giác OMA = tam giác OMB ( ch - gn )

Vậy tam giác OMA = tam giác OMB ( ch - gn )

b) Gọi I là giao điểm của OM và BA

Xét tam giác OIA và tam giác OIB , có :

OI : chung

OA = OB ( tam giác OMA = tam giác OMB )

góc O₁ = góc O₂ ( gt )

=> tam giác OIA = tam giác OIB ( c-g-c )

=> IA = IB ( hai cạnh tương ứng )( 1 )

Ta có : góc OIA + góc OIB = 180^o ( kề bù ) mà góc OIA = góc OIB ( tam giác OIA = tam giác OIB ) => góc OIA = góc OIB = 90^o( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) => OM là đường trung trực của AB

Vậy OM là đường trung trực của AB

c) Xét tam giác OAH và tam giác OBK , có :

góc O : chung

OA = OB ( tam giác OMA = tam giác OMB )

góc OAH = góc OBK ( = 90^o )

=> tam giác OAH = tam giác OBK ( cgv - gnk )

=> OH = OK ( hai cạnh tương ứng ) => tam giác OHK cân tại O ( tính chất tam giác cân )

Xét tam giác OHK cân tại O => góc OKH = góc OHK ( tính chất tam giác cân )

=> góc O + góc OKH + góc OHK = 180^o ( định lý tổng 3 góc trong một tam giác )

=> góc OKH = góc OHK = \(\dfrac{180^o-\widehat{O}}{2}\) ( 1 )

Vì OA = OB ( chứng minh trên ) => tam giác AOB cân tại O

Xét tam giác AOB cân tại O => góc OAB = góc OBA ( tính chất tam giác cân )

=> góc O + góc OAB + góc OBA = 180^o ( định lý tổng 3 góc trong một tam giác )

=> góc OAB = góc OBA = \(\dfrac{180^o-\widehat{O}}{2}\) ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) => góc OAB = góc OKH mà hai góc ở vị trí đồng vị nên AB // HK ( dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song )

Vậy AB // HK ( đpcm )