Chứng minh MI=IK=KN biết tam giác ABC có các đường trung tuyến của BD và CE cắt nhau ở G

1,Trong tam giác ABC ta có:

E là trung điểm của AB (gt)

D là trung điểm của AC (gt)

Nên ED là đường trung bình của tam giác ABC

⇒ED // BC và \(ED=\dfrac{BC}{2}\) (tính chất đường trung bình của tam giác) \(^{\left(1\right)}\)

Trong tam giác GBC ta có:

I là trung điểm của BG (gt)

K là trung điểm của CG (gt)

Nên IK là đường trung bình của ∆ GBC

⇒ IK // BC và \(IK=\dfrac{BC}{2}\) (tính chất đường trung bình của tam giác) \(^{\left(2\right)}\)

Từ (1) và (2) suy ra: IK // DE và IK = DE.

2,Trong tam giác ABC ta có:

-E là trung điểm của cạnh AB

-D là trung điểm của cạnh AC

Nên ED là đường trung bình của ∆ ABC

\(\Rightarrow ED//BC\) và \(ED=\dfrac{1}{2}BC\) (tính chất đường trung bình của tam giác)

Trong hình thang BCDE, ta có: BC // DE

-M là trung điểm cạnh bên BE

-N là trung điểm cạnh bên CD

Nên MN là đường trung bình hình thang BCDE ⇒ MN // DE

\(MN=\dfrac{DE+BC}{2}=\dfrac{\dfrac{BC}{2}+BC}{2}=\dfrac{3BC}{4}\) (tính chất đường trung bình hình thang)

Trong tam giác BED ta có:

M là trung điểm của BE

MI // DE

Suy ra: MI là đường trung bình của ∆ BED

\(\Rightarrow MI=\dfrac{1}{2}DE=\dfrac{1}{4}BC\) (tính chất đường trung bình tam giác)

Trong tam giác CED ta có:

N là trung điểm của CD

NK // DE

Suy ra: NK là đường trung bình của ∆ BED

\(\Rightarrow NK=\dfrac{1}{2}DE=\dfrac{1}{4}BC\) (tính chất đường trung bình tam giác)

\(IK=MN-\left(MI+NK\right)\)

\(=\dfrac{3}{4}BC-\left(\dfrac{1}{4}BC+\dfrac{1}{4}BC\right)=\dfrac{1}{4}BC\)

\(\Rightarrow MI=IK=KN=\dfrac{1}{4}BC\)