Chứng minh MD=NE biết tam giác ABC cân tại A, BD=CE

a) Ta có : \(\widehat{ACB}=\widehat{ECN}\) (đối đỉnh)

Lại có : \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (Tam giác ABC cân tại A)

Suy ra : \(\widehat{ABC}=\widehat{ECN}\left(=\widehat{ACB}\right)\)

Xét \(\Delta MBD,\Delta NCE\) có :

\(\widehat{MDB}=\widehat{NEC}\left(=90^o\right)\)

\(BD=CE\left(gt\right)\)

\(\widehat{MBD}=\widehat{NCE}\) (do \(\widehat{ABC}=\widehat{ECN}\))

=> \(\Delta MBD=\Delta NCE\) (g.c.g)

=> MD = NE (2 cạnh tương ứng)

b) Xét \(\Delta MDI,\Delta NEI\) có :

\(\widehat{MDI}=\widehat{NEI}\left(=90^o\right)\)

\(MD=NE\) (do \(\Delta MBD=\Delta NCE\))

\(\widehat{MID}=\widehat{NIE}\) (đối đỉnh)

=> \(\Delta MDI=\Delta NEI\left(g.c.g\right)\)

=> \(DI=EI\) (2 cạnh tương ứng)

Do đó : I là trung điểm của DE (đpcm)

c) Ta có : \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (tam giác ACB cân tại A)

=> \(90^o-\widehat{ABC}=90^o-\widehat{ACB}\)

=> \(\widehat{OBC}=\widehat{OCB}\)

=> \(\Delta OBC\) cân tại B

Xét \(\Delta ABO,\Delta ACO\) có :

\(AB=AC\) (Tam giác ABC cân tại A)

\(OA:Chung\)

\(OB=OI\) (tam giác OBC cân tại O)

=> \(\Delta ABO=\Delta ACO\left(c.c.c\right)\)

=> \(\widehat{AOB}=\widehat{AOC}\) (2 góc tương ứng)

Do đó : AO là trung trực của BC (đpcm)