Chứng minh M là trung điểm của AE biết tam giác ABC vuông tại A có 2 trung tuyến AM và BN

Bài 4:

a, Vì AM và BN là trung tuyến của BC và AC của tam giác ABC mà BC giao AC tại I nên I là trọng tâm của tam giác ABC

b, Vì Q là trung điểm của AB nên CQ là trung tuyến của AB của tam giác ABC mà I là trọng tâm của tam giác ABC nên Q;I;C thẳng hàng. (đpcm)

c, Vì \(AB\perp AC;EC\perp AC\) mà AB; EC phân biệt nên AB//EC

d, Vì AB// EC nên góc ABM=góc ECM (cặp góc so le trong)

Xét tam giác ABM và tam giác ECM có:

góc ABM=góc ECM (cmt);BM=CM(do AM là trung tuyến của BC); góc AMB= góc EMC(đối đỉnh)

Do đó tam giác ABM= tam giác ECM

=> AM=EM(cặp cạnh tương ứng)

mà M nằm giữa A và E (do E nằm trên tia đối của MA)

nên M là trung điểm của AE(đpcm)

e, Xét tam giác ABC vuông tại A có AM là trung tuyến của BC nên AM=BM=CM

Vì M là trung điểm của AE nên 2AM=AEmà AM=BM=> 2BM=AE=>BC=AE

Ta sẽ chứng minh được tam giác ABC=tam giác CEA(cạnh huyền- cạnh góc vuông)

=>AB=CE(cặp cạnh tương ứng) và góc ABC=góc CEA(cặp góc tương ứng)

Từ đó chứng minh được tam giác ABN=tam giác CEN(c.g.c)

=>BN=EN(cặp cạnh tương ứng) và góc ABN=góc CEN(cặp góc tương ứng)

Ta có:

góc ABN+góc NBK =góc ABC

góc CEN+góc NEI =góc CEN

=> góc ABN+góc NBK =góc CEN+góc NEI (do góc ABC=góc CEN (cmt))

mà góc ABN=góc CEN nên góc NBK=góc NEI

Ta sẽ chứng minh được tam giác BNK=tam giác ENI (g.c.g)

=> NK=NI(cặp cạnh tương ứng)

=> tam giác IKN cân tại N(đpcm)

Chúc bạn học tốt nha!!!