Chứng minh IK//AC biết tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BD, AE vuông góc BD

a) Xét ΔABEΔABE và ΔKBEΔKBE có :

ABEˆ=KBEˆABE^=KBE^ ( BD là đường phân giác )

BE : cạnh chung

AEBˆ=KEBˆ(=90o)AEB^=KEB^(=90o)

do đó ΔABE=ΔKBE(cgv−gn)ΔABE=ΔKBE(cgv−gn)

⇒BA=BK⇒BA=BK ( 2 cạnh tương ứng )

hay ΔABKΔABK cân tại B ( dhnb ΔΔ cân )

b) Xét ΔABDΔABD và ΔKBDΔKBD có :

ABDˆ=KBDˆABD^=KBD^ ( BD là tia phân giác )

BD : cạnh chung

BA = BK ( c/m trên )

do đó ΔABD=ΔKBD(ch−gn)ΔABD=ΔKBD(ch−gn)

⇒BADˆ=BKDˆ⇒BAD^=BKD^

mà BADˆ=90o⇒BKDˆ=90oBAD^=90o⇒BKD^=90o (1)

lại có BKDˆ+CKDˆ=180oBKD^+CKD^=180o ( 2 góc kề bù )

nên CKDˆ=90oCKD^=90o (2)

Từ (1) và (2) suy ra DK⊥BCDK⊥BC

c) Có AD = DK ( 2 cạnh tương ứng của ΔABD=ΔKBDΔABD=ΔKBD )

suy ra ΔADKΔADK cân tại D ( dhnb ΔΔ cân )

⇒KADˆ=AKDˆ⇒KAD^=AKD^ ( t/c ΔΔ cân ) (3)

Có AH⊥BC(gt)AH⊥BC(gt)

DK⊥BCDK⊥BC ( c/m trên )

suy ra AH // DK ( dhnb 2 đường thẳng // )

⇒HAKˆ=AKDˆ⇒HAK^=AKD^ ( 2 góc so le trong ) (4)

Từ (3) và (4) ⇒⇒ HAKˆ=DAKˆHAK^=DAK^

mà AK là tia nằm giữa 2 tia AH và AC

nên AK là tia phân giác của góc HACˆHAC^

d) Có AH cắt BD tại I (gt)

⇒⇒ I thuộc BD
suy ra I thuộc trung trực của AK
nên IA = IK (t/c của 1 điểm nằm trên đường trung trực )
hay ΔΔ IAK cân tại I (dhnb ΔΔ cân )
⇒⇒ IAKˆIAK^ = IKAˆIKA^
mà IAKˆ=KADˆIAK^=KAD^ (cmt)
⇒IKAˆ=KADˆ⇒IKA^=KAD^
mà 2 góc này nằm ở vị trí so le trong
⇒⇒ IK // AC (dhnb 2 đường thẳng //)