Chứng minh HK song song BC biết tam giác ABC cân tại A có BH, CK vuông góc với AD, AE

a) Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ABD}+\widehat{ABC}=180^{^O}\\\widehat{ACB}+\widehat{ACE}=180^o\end{matrix}\right.kềbù\)

Mà có : \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (tam giác ABC cân tại A)

Suy ra : \(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\)

Xét \(\Delta ABD;\Delta ACE\) có :

\(AB=AC\) (tam giác ABC cân tại A)

\(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\left(cmt\right)\)

\(BD=CE\left(gt\right)\)

=> \(\Delta ABD=\Delta ACE\left(c.g.c\right)\)

=> \(AD=AE\) (2 cạnh tương ứng)

Do đó : \(\Delta ADE\) cân tại A

b) Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}BD=CE\\BM=MC\end{matrix}\right.\left(gt\right)\)

Mà có : \(\left\{{}\begin{matrix}DM=BD+BM\\ME=MC+EC\end{matrix}\right.\)

Suy ra : \(DM=EM\)

Xét \(\Delta AMD;\Delta AME\) có:

\(AD=AE\left(gt\right)\)

\(\widehat{ADM}=\widehat{AEM}\) (tam giác ADE cân tại A)

\(DM=ME\left(cmt\right)\)

=> \(\Delta AMD=\Delta AME\left(c.g.c\right)\)

=> \(\widehat{DAM}=\widehat{EAM}\) (2 góc tương ứng)

Do đó, AM là tia phân giác của gócDAE

Xét \(\Delta cânADE\) có :

AM là tia phân giác đồng thời là trung tuyến

=> AM đồng thời là đường trung trực

=> \(AM\perp DE\)

d) Ta chứng minh \(\Delta AHK\) cân tại A.

Suy ra : \(\widehat{AHK}=\widehat{AKH}=\dfrac{180^o-\widehat{A}}{2}\left(1\right)\)

Xét \(\Delta ABC\) cân tại A có :

\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\dfrac{180^o-\widehat{A}}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{AHK}=\widehat{ABC}\left(=\dfrac{180^{^O}-\widehat{A}}{2}\right)\)

Mà thấy : 2 góc này ở vị trí đồng vị

=> HK // BC (đpcm)

https://hoc247.net/hoi-dap/toan-7/chung-minh-hk-song-song-voi-bc-biet-bh-vuong-goc-voi-ad-tai-h-ck-vuong-goc-voi-ae-tai-k-faq168228.html#:~:text=a)%20Ta%20c%C3%B3,n%C3%AAn%20HK%20//%20BC