Chứng minh HE vuông góc với AB biết AH vuông góc với BC, trên BC lấy D sao cho HB = HD

giải: a)

*) Có: AH _l_ BC (gt)

=> AH là đường cao của tam giác ABD

mặt khác: HB = HD => AH là trung tuyến của tam giác ABC

=> Tam giác ABC cân tại A (1)

Ta có: \(\widehat{B}=180^o-\widehat{A}-\widehat{B}=180 ^o-90^o-30^o=60^o\) (2)

Từ (1) và (2) => tam giác ABD đều (đpcm)

*) Tam giác ABD đều => BD = AD (3)

\(\Delta ACD\) có: \(\widehat{ADC}=180^o-\widehat{ADB}=180^o-60^o=30^o\)

=> \(\widehat{DAC}=180^o-\widehat{ADC}-\widehat{ACD}=180^o-120^o-30^o=30^o=\widehat{ACD}\)

=> tam giác ACD cân tại D => AD = CD (4)

Từ (3) và (4) => BD = CD => D là trung điểm của BC (đpcm)

b) Có: \(\widehat{HDE}=\widehat{ADC}=120^o\) (đối đỉnh)

tam giác ABD cân có AH là đường cao => AH cx là dd` p/g

=> góc HAD = 60^o : 2 = 30^o

Xét 2 tam giác vuông: \(\Delta HDA\) và \(\Delta EDC\) có:

DA = DC (đã cm)

\(\widehat{D_1}=\widehat{D_2}\) (đối đỉnh)

=> t/g HDA = t/g EDC (cạnh huyền- góc nhọn)

=> HD = ED => tam giác HDE cân tại D

=> \(\widehat{DHE}=\widehat{DEH}=\dfrac{180^o-\widehat{HDE}}{2}=\dfrac{180^o-120^o}{2}=30^o\)

Có: \(\widehat{HAD}=\widehat{DEH}=30^o\) mà 2 góc này so le trong

=> HE // AC

lại có: AC _l_ AB => HE _l_ AB (đpcm)